18.2.3 正方形——正方形中常见的几何模型 专项素养巩固训练卷 2023-—2024学年人教版八年级数学下册

2023～2024学年下学期八年级数学新课标测试 专项素养巩固训练卷 【正方形中常见的几何模型】 类型一 十字架模型 类型二 对角互补模型 类型三 手拉手模型 类型四 半角模型 类型一 十字架模型 【模型解读】十字架模型 模型特点：如图1，已知正方形ABCD中，点E,F分别在CD,AD上，AE⊥BF. 模型结论：△ABF≌△DAE,BF＝AE. 模型拓展：如图2，在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别在AB,CD,BC,AD上，EF⊥GH,则 EF＝GH. 1.已知正方形ABCD中，点E,M分别在边AB,AD上. (1)如图①，CM⊥DE,垂足为点G,求证：DE＝CM； (2)如图②，点F,N分别在边CD,BC上，若EF ⊥MN,请判断EF和MN的大小关系，并说明理由. 2.如图所示，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE＝CF,AF与BE相交于点O,DG⊥AF,垂足为G. (1)求证：AF＝BE且AF⊥BE； (2)试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系，并说明理由 3.在正方形ABCD中，E,F分别是AD,CD上的点，连接AF,BE交于点 G,DE＝CF. (1)如图①，求证：∠AGB＝90°； (2)如图②，点E是AD的中点，连接CG,求证：CG＝CB； (3)若正方形ABCD的边长为2，直接写出DG长度的最小值. 类型二 对角互补模型 【模型解读】对角互补模型 模型特点：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD. 辅助线作法：过点D作DE⊥射线BA于点E,DF⊥射线BC于点F. 模型结论：△DAE≌△DCF,AB+BC＝2BE＝2BF＝2BD. 4.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E是AB边上的一点，连接OE,过点O作OF⊥OE交BC于点F,若AD＝2,求四边形BFOE的面积. 5.如图，在正方形ABCD中，AB＝6,点P为对角线BD上任意一点，连接AP,过点P作PQ⊥AP交BC于点Q. (1)求证：AP＝PQ； (2)若DP＝2，求四边形ABQP的面积. 类型三 手拉手模型 【模型解读】手拉手模型 模型特点：如图，正方形ABCD与正方形AEFG共顶点A,连接 BE,DG. 模型结论：△ABE≌△ADG,BE＝DG,DG⊥BE. 6.如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M,点M在△ABC的外部 (1)求证：BG＝CE； (2)求证：CE⊥BG； (3)求∠AME的度数 题型四 半角模型 【模型解读】半角模型 模型特点：如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°. 辅助线作法：将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABG,连接 GF. 模型结论：△AEF≌△AEG,△AGF为等腰直角三角形，EF＝EG＝BE+DF. 7.如图，点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上，∠MAN＝45°，点E在CB的延长线上，BE＝DN,连接AE. (1)求证：AE＝AN； (2)若CM＝3,CN＝4,求EM的长. 8.已知正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC上的动点. (1)如图①，点E,F分别是边AB,BC的中点，求证：DE＝DF； (2)如图②，若正方形ABCD的边长为1，△BEF的周长为2，求证：∠EDF＝45°. 9.(1)如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： (2)如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD,∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.点E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图②中线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由. 【参考答案及解析】 专项素养巩固训练卷 正方形中常见的几何模型 1.【解析】： (1)证明：四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC,∠DAE＝∠CDM＝90°，∴∠ADE+∠EDC＝90°， ∵CM⊥DE,∴∠CGD＝90°， ∴∠EDC+∠DCM＝90°， ∴∠ADE＝∠DCM, 在△ADE和△DCM中，， ∴△ADE≌△DCM(ASA), ∴DE＝CM. (2)EF＝MN,理由如下：如图，过点C作CR∥MN交AD于R,过点D作DQ∥EF交AB于Q, ∴四边形ABCD为正方形，AD∥BC,即MR∥CN,又CR∥MN, ∴四边形MNCR为平行四边形，∴NM＝CR, 同理可得EF＝DQ,又由(1)可知CR＝DQ,∴EF＝MN. 2.【解析】： (1)证明：∵四边形ABCD为正方形，且DE＝CF,∴AE＝DF,AB＝AD,∠BAE＝∠ADF＝90°， 在△ABE与△DAF中， ∴△ABE≌△DAF(SAS),∴∠ABE＝∠DAF,BE＝AF, 又∵∠ABE