7.2 复数的四则运算6题型分类-2023-2024学年高一数学同步知识·题型讲义（人教A版2019必修第二册）

解题秘籍：2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义 7.2 复数的四则运算6题型分类 一、复数加法与减法的运算法则 1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2.对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 二、复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 三、复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 四、复数除法的法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数， 则＝＝＋i(c＋di≠0). （一） 复数代数形式的加、减运算 解决复数加减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 题型1：复数代数形式的加、减运算 1-1．（2024高二下·广东茂名·期中）若，则等于（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高二·全国·课后作业）设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围． 1-3．（2024高一·全国·课时练习）已知为虚数单位，计算下列各式． (1)； (2)； (3)； (4)． 1-4．（2024高一·全国·专题练习）若，，复数所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是 ． 1-5．（2024高一下·河南安阳·期末）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为 ． （二） 复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变. 题型2：复数加减法的几何意义 2-1．（2024高一下·全国·课后作业）已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数. 2-2．（2024高一下·上海·课时练习）设复数满足，求满足条件的复数在复平面上对应点所构成的图形面积. 2-3．（2024·江苏镇江·模拟预测）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为 . 2-4．（2024高一下·上海长宁·期末）若复数和复数满足，则 ． （三） 复数代数形式的乘法运算 (1)两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开. ②再将i2换成－1. ③然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R). ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). ③(1±i)2＝±2i. 题型3：复数代数形式的乘法运算 3-1．（2024高一·全国·专题练习）计算:等于（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高一·全国·课时练习） ．（其中i是虚数单位） 3-3．（2024·北京）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A．（–∞，1） B．（–∞，–1） C．（1，+∞） D．（–1，+∞） （四） 复数代数形式的除法运算 (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式. ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数. ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. (2)常用公式 ①＝－i； ②＝i； ③＝－i. 题型4：共轭复数 4-1．（2024高一·全国·课时练习）如果与（i为虚数单位）是共轭复数，则实数x＝ ，y＝ . 4-2．（2024高三上·广西南宁·阶段练习）已知复数为的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 4-3．（2024高一下·江苏盐城·期中）设（为虚数单位），