5.4随机事件的独立性学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

5.4 随机事件的独立性 【学习目标】 1.结合有限样本空间,了解两个事件独立性的含义.(数学抽象) 2.能进行一些与事件独立有关的概率的计算.(数学运算) 【自主预习】 　　我们知道,积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此,积事件AB发生的概率一定与事件A,B发生的概率有关. 1.上述这种关系会是怎样的呢? 2.事件的相互独立性的定义是什么? 3.相互独立事件有哪些性质? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立. (　　) (2)必然事件与任何一个事件相互独立. (　　) (3)若两个事件互斥,则这两个事件相互独立. (　　) 2.若随机事件A,B满足P(AB)=,P(A)=,P(B)=,则事件A与B的关系是(　　). A.互斥 B.相互独立 C.互为对立 D.互斥且独立 3.甲袋中有8个白球、4个红球,乙袋中有6个白球、6个红球,从每袋中任取1个球,则取到相同颜色的球的概率是　　　　.  4.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动,每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答.假设某期学习中,小华同学答对第一、二个问题的概率分别为,,且两题是否答对相互之间没有影响. (1)求恰好答对一个问题的概率; (2)求至少答对一个问题的概率. 　 【合作探究】 探究1　相互独立事件 　　在相同的条件下分别抛掷甲、乙两枚质地均匀的硬币,设A=“甲正面朝上”,B=“乙正面朝上”,则A∩B表示“甲、乙都正面朝上”. 问题1:事件A发生会影响事件B发生的概率吗? 问题2:分别计算P(A),P(B),P(A∩B),你有什么发现? 新知生成 1.相互独立事件的概念 设A,B为两个事件,若P(A∩B)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,简称为独立. 2.对事件A与B相互独立的理解 (1)从定义上看,只有符合P(A∩B)=P(A)P(B)的规律,才能称事件A,B相互独立. (2)从直观上看,事件A,B相互独立,即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响. (3)在实际应用时,如果根据问题的实际背景,可以判定事件A(B)是否发生对事件B(A)发生的概率没有影响,那么可以说事件A,B独立. 新知运用 例1　有6个除颜色外完全相同的小球,其中1个黑色,2个蓝色,3个红色.采用有放回的方式从中随机取两次球,每次取1个球,甲表示事件“第一次取红球”,乙表示事件“第二次取蓝球”,丙表示事件“两次取出不同颜色的球”,丁表示事件“两次取出相同颜色的球”,则(　　). A.甲与乙相互独立 B.甲与丙相互独立 C.乙与丙相互独立 D.乙与丁相互独立 【方法总结】　　判断两个事件是否相互独立的两种方法:(1)根据问题的实质,从直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率,若没有影响,则两个事件就是相互独立事件;(2)定义法,通过式子P(A∩B)=P(A)P(B)来判断两个事件是否独立,若上式成立,则事件A,B相互独立,这是定量判断. 　　(多选题)口袋里装有2个红色,2个白色共4个除颜色外完全相同的小球,从中不放回地依次取出2个球,事件A=“取出的2个球同色”,B=“第1次取出的是红球”,C=“第2次取出的是红球”,D=“取出的2个球不同色”,则下列判断正确的(　　). A.A与B相互独立 B.A与D互为对立 C.B与C互斥 D.B与D相互独立 探究2　相互独立事件的概率 　　问题1:不可能事件与任何事件相互独立吗?必然事件呢? 问题2:如果事件A,B相互独立,那么事件A与事件,事件与事件B,事件与事件各是什么关系? 问题3:如果事件A,B相互独立,事件AB的对立事件是吗? 新知生成 1.相互独立事件的性质 性质1:必然事件Ω、不可能事件⌀与任意事件相互独立. 性质2:如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也相互独立. 2.相互独立事件的概率 已知两个事件A,B相互独立,它们的概率分别为P(A),P(B),则 事件 表示 概率 A,B同时发生 AB P(AB)=P(A)P(B) A,B都不发生 P()=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)] 续表 事件 表示 概率 A,B恰有一个发生 A∪B P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()·P(B) A,B中至少有一个发生 A∪B∪AB P(A∪B∪AB)=P(A)+P(B)+P(AB) 或P(A∪B∪AB)=1-P() A,B中至多有一个发生 A∪B∪ P(A∪B∪)=P(A)+P(B)+P() 或P(A∪B∪)=1-P(AB) 3.两个事件独立性的推广 (1)两个事件相互独立的概念也可以推广到有限