5.3.2函数极值与最值的综合应用课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数极值与最值的综合应用 复习引入 1.一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 复习引入 2.最值在极值点或区间端点取得. 3.求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数在区间上的极值； (2)将函数的各极值点与端点处的函数值， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是 最小值. l l 例7.给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值； 解(1)：函数的定义域为， 令，得，解得. 当变化时，，的变化情况如下表： 单调递减 单调递增 ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增.当时，有极小值. l l 解(2)：令，解得. 当时，；当时，. ∴的图象经过特殊点，，. 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而 当时，. 根据以上信息，我们画出的大致图象如图所示. 例7.给定函数. (2)画出函数的大致图象； l l l 解(3)：方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数. 由图可得 ∴关于方程的解的个数有如下结论： 当时，解为个； 当或时，解为个； 当时，解为个. 例7.给定函数. (3)求出方程的解的个数. 由例7可见，函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质. 通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象： (1) 求出函数f(x)的定义域； (2) 求导数f′(x)及函数f′(x)的零点； (3) 用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值； (4) 确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； (5) 画出f(x)的大致图象. x y O 2 1 -e 问题.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗？ (2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ l l 例8.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分，其中(单位：)是瓶子的半径.已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解：由题意可知，每瓶饮料的利润是 所以令，解得. 当时，；当时，. 因此，当半径时，，单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，，单调递减，即半径越大，利润越低. 利用导数解决实际问题中最值的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式； (2)求函数的导数，解方程； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论. 解： 练习2.如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积 为a m2.为使所用材料最省，圆的直径应为多少? . 几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验. 1.画函数的图象的一般步骤： (1)求出函数的定义域； (2)求导数及函数的零点； (3)用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值； (4)确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； (5)画出的大致图象. 课堂小结 2. 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤： （1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 y＝f (x)； （2）求函数的导数 f ′(x)，解方程 f ′(x)＝0； （3）比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. 一般地，求函数y＝fx的极值的步骤 1求出函数的定义域及导数f′x； 2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一个； 3用方程f′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′x，fx在每个区间内的变化情况列在同一个表格中； 4由f′x在各个开区间内的符号，判断fx在f′x＝0的各个根处的极值情况： 如果左正右负，那么函数fx在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数fx在这个根处取得极小值； 如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点. 练习1.函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，求实数m的取值范围． 解析：g(x)＝ex(x－2)－m，函数g(x)＝ex(x－2)－m