4.5 课时3 空间几何体的表面积与体积 学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.5 课时3 空间几何体的表面积与体积 【学习目标】 1.进一步掌握空间几何体的表面积、体积公式.(直观想象、数学运算) 2.进一步掌握组合体的表面积、体积计算.(直观想象、数学运算) 3.进一步掌握与球有关的表面积、体积的计算.(直观想象、数学运算) 【自主预习】 1.若长方体相邻三个面的面积分别为,,,则长方体的体积等于(　　). A. B.6 C.6 D.36 2.一个圆柱内挖去一个圆锥,圆锥的顶点是圆柱底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的另一个底面,圆柱的母线长为6,底面半径为2,则该组合体的表面积为(　　). A.(32+4)π B.32π C.28π D.(28+4)π 3.一平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到截面的距离为,则此球的体积为(　　). A.π B.4π C.4π D.6π 4.圆柱形容器的内壁底半径是10 cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中.若取出这个铁球,测得容器的水面下降了 cm,则这个铁球的表面积为　　　　 cm2.  【合作探究】 探究1　组合体的表面积与体积 例1　一个容器的盖子由一个正四棱台和一个球焊接而成,球在正四棱台上底面的正中间,球的半径为R,正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R,斜高为0.6R(π取3.14). (1)求这个盖子的表面积和体积(用R表示,焊接处对面积的影响忽略不计); (2)若R=2 cm,给盖子涂色时所用的涂料每0.4 kg可以涂1 m2,计算给100个这样的盖子涂色大约需要多少千克涂料.(内部不涂色,结果精确到0.1 kg) 方法指导　(1)根据给定条件,利用球和棱台的表面积公式,以及它们的体积公式求解作答;(2)由(1)的结论,将R=2 cm代入计算出每个盖子的表面积,进而求出100个盖子的面积,即可求出需涂料的重量. 【方法总结】　　求组合体的表面积和体积,首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的.组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和,但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和,组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和(或差). 现需要设计一个仓库,仓库由上、下两部分组成,如图所示,上部分为正四棱锥P-A1B1C1D1,下部分为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍. (1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库(含上、下两部分)的容积是多少? (2)若上部分正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,下部分正四棱柱的侧面积最大,最大侧面积是多少? 探究2　旋转体的表面积与体积 例2　如图所示,在直角梯形ABCD内挖去一个扇形,E恰好是梯形的下底边的中点,将所得平面图形绕直线DE旋转一圈. (1)请画出所得几何体并说明所得的几何体的结构特征; (2)求所得几何体的表面积和体积. 方法指导　(1)直接由旋转体的结构特征得出结论;(2)结合图中数据计算该组合体的表面积和体积. 【方法总结】　　解决旋转体的表面积与体积问题时,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可. 如图,在等腰Rt△AOB中,OA=OB=2,C是OB的中点,△AOB绕BO所在的直线逆时针旋转至△BOD,∠AOD=,求△AOB旋转所得旋转体的体积V和表面积S. 探究3　球的切接问题 一、定义法 例3　在矩形ABCD中,BC=4,M为BC的中点,将△ABM和△DCM分别沿AM,DM翻折,使点B与点C重合于点P,若∠APD=150°,则三棱锥M-PAD的外接球的表面积为(　　). A.12π B.34π C.68π D.126π 【方法总结】　　到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据到其他顶点距离也是半径,列关系式求解即可. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为　　　　.  二、补形法 例4　在四面体ABCD中,若AB=CD=,AC=BD=2,AD=BC=,则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　). A.2π B.4π C.6π D.8π 【方法总结】　　(1)补形法的解题策略: ①侧面为直角三角形或正四面体或对棱均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解; ②有一条侧棱垂直于底面的三棱锥可补成三棱柱求解. (2)正方体与球的切接问题常用结论: 正方体的棱长为a,球的半径为R, ①若球为正方体的外接球,则2R=a; ②若球为正方体的内切球,则2R=a; ③若球与正方体的各棱相切,则2R=a. (3)若长方体的共顶点的三条棱长分别为a,