4.3 课时2 异面直线 学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.3 课时2 异面直线 【学习目标】 1.掌握异面直线的另一种判断方法.(逻辑推理、直观想象) 2.理解异面直线所成角的定义,会求两异面直线所成的角.(逻辑推理、直观想象) 【自主预习】 1.怎么判断两直线异面? 2.异面直线所成的角的定义是什么? 3.异面直线所成的角的范围是什么? 4.什么是异面直线垂直? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)异面直线所成的角的大小与O点的位置有关,即O点位置不同时,该角的大小也不同. (　　) (2)如果两条平行直线中的一条与第三条直线垂直,那么另一条直线也与第三条直线垂直. (　　) (3)空间中两条异面直线所成的角α的取值范围是0°≤α≤90°. (　　) 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线(　　). A.平行 B.相交 C.异面 D.以上均有可能 3.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为(　　). A.30° B.60° C.90° D.120° 【合作探究】 探究1　判断两直线异面的方法 问题1:没有公共点的两条直线一定是异面直线吗? 问题2:直线a在平面α内,直线b在平面β内,请问直线a,b是异面直线吗? 新知生成 异面直线的判定定理 与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线. 新知运用 例1　如图所示,已知不共面的直线a,b,c相交于点O,M,P是直线a上的两点,N,Q分别是直线b,c上的点.求证:MN与PQ是异面直线. 方法指导　直接应用点和直线的位置关系,证明两条直线MN与PQ没有公共点,也可证明MN与PQ是异面直线. 【方法总结】　　判定空间两条直线是异面直线的方法:(1)利用定义;(2)证明两直线既不平行也不相交;(3)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线. 如图,若P是△ABC所在平面外一点,PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M为AB的中点.求证:PN与MC为异面直线. 探究2　异面直线所成的角 问题1:为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用什么衬托?你能用图表示一下吗? 问题2:能否找到一个平面,使得上述的a,b两条直线都在这个平面内? 问题3:在如图所示的正方体中,直线A'C'与直线AB,直线A'D'与直线AB都是异面直线,但是它们的位置不同,如何描述这种差异呢? 问题4:通过平移可以将异面直线所成的角转化成平面中两直线所成的角.那么平移时,所选的点O的位置对它们所成的角的大小有没有影响,为什么? 问题5:点O的位置选在哪里比较合适呢? 新知生成 异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间　任意　一点O作直线a'∥a,b'∥b,则异面直线a与b所成的角就是直线a'与b'所成的　锐角　(或　直角　).  (2)范围:0°<θ≤90°.特别地,当θ=90°时,a与b互相垂直,记作　a⊥b　.  新知运用 例2　如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角的大小. 【变式探究】将本例中的条件“AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=”改为“AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点”,求EF与AB所成角的大小. 【方法总结】　　求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移其中一条直线,作出异面直线所成的角. (2)计算角:求角度,常利用三角形. (3)确定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,求异面直线CB1与DE所成角的余弦值. 【随堂检测】 1.已知异面直线a,b,有a⊂α,b⊂β,且α∩β=c,则直线c与a,b的关系是(　　). A.c与a,b都相交 B.c与a,b都不相交 C.c至多与a,b中的一条相交 D.c至少与a,b中的一条相交 2.若空间中的三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c(　　). A.一定平行 B.一定垂直 C.一定是异面直线 D.一定相交 3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BC1所成角的大小是　　　　.  4.已知a,b是异面直线,直线c∥a且c不与b相交,求证:b,c是异面直线. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 课时2 异面直线 【学习目标】 1.掌握异面直线的另一种判断方法.(逻辑推理、直观想象) 2.理解异面直线所成角的定义,会求两异面直线所成