考点练18直线与圆锥曲线（二）-2024届高三数学一轮复习

考点练18　直线与圆锥曲线（二） 考点一：圆锥曲线的证明问题　 1．已知双曲线C的渐近线方程为x±y＝0，且过点(3，). (1)求双曲线C的标准方程； (2)若点Q(，0)，过右焦点F且与坐标轴都不垂直的直线l与C交于A，B两点， 求证：∠AQF＝∠BQF. 2．已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. 考点二：圆锥曲线的探索问题 1．[2023河北沧州模拟]已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，点A(4，－1)，P为抛物线上的动点，直线l为抛物线的准线，点P到直线l的距离为d，|PA|＋d的最小值为5. (1)求抛物线C的方程； (2)直线y＝kx＋1与抛物线相交于M，N两点，与y轴相交于Q点，当直线AM，AN的斜率存在，设直线AM，AN，AQ的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在实数λ，使得＋＝，若存在，求出λ；若不存在，说明理由． 2．椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的焦点F1，F2是等轴双曲线C2：－＝1的顶点，若椭圆C1与双曲线C2的一个交点是P，△PF1F2的周长为4＋2. (1)求椭圆C1的标准方程； (2)过点Q(－4，0)任作一动直线l交椭圆C1于A，B两点，记＝λ(λ∈R)，若在直线AB上取一点R，使得＝(－λ)，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 考点三：解析几何与数学文化　 1．希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262～公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k＞0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O(0，0)，A(3，0)，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以为(　　) A．2　　 　B．3　　 　C．4　　 　D．5 2．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2，现有椭圆C：＋＝1的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P，Q两点，若△MPQ面积的最大值为34，则椭圆C的长轴长为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 3.[2023·江苏南通模拟](多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则(　　) A．该椭圆的离心率为 B．该椭圆的离心率为2－ C．该椭圆的焦距为 D．该椭圆的焦距为2－1 4．(多选)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右支与直线x＝0，y＝－2，y＝4围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C与坐标轴交于D，E，则(　　) A．双曲线C的方程为－＝1 B．双曲线－x2＝1与双曲线C共渐近线 C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点 D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3 5.[2023·广东韶关模拟]我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念．数学中根据不同定义有好多种距离．平面上，欧几里得距离是A(x1，y1)与B(x2，y2)两点间的直线距离，即dAB＝.切比雪夫距离是A(x1，y1)与B(x2，y2)两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即d′AB＝max{|x1－x2|，|y1－y2|}．已知P是直线l：2x＋y－15＝0上的动点，当P与O(O为坐标原点)两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为________． 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l