考点练15空间角与距离（一）-2024届高三数学一轮复习

考点练15　空间角与距离（一） 考点一：异面直线所成的角 1．如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 2．[2023·河北秦皇岛模拟]已知M是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1的中点，则异面直线MC1和CD1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 3．如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC＝2，Q为PC上一点，且PQ＝3QC，则异面直线AC与BQ所成的角为(　　) A． B． C． D． 4.[2023·河北秦皇岛一中月考]如图，在正三棱柱ABC ­A1B1C1中，CB＝CC1＝2，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成的角的余弦值为 ________． 5．已知平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形．AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°. (1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值． 考点二：直线与平面所成的角　 1．[2023·江西赣州模拟]已知在四棱锥P­ABCD中，△ABD、△BCD、△BDP都是正三角形AB＝2，AP＝3. (1)求证：平面ACP⊥平面BDP； (2)求直线BP与平面ADP所成角的正弦值． 2．[2023·河南郑州模拟]如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD，△ABC是底面的内接正三角形，且DO＝6，P是线段DO上一点． (1)若PA⊥平面PBC，求PO； (2)当PO为何值时，直线EP与平面PBC所成角的正弦值最大？ 考点三：平面与平面的夹角 1．[2023·河北秦皇岛模拟]如图，在四棱锥P ­ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥CD，BC＝BP，CD＝2AB＝4，△ADP是等边三角形，E为DP的中点． (1)证明：AE⊥平面PCD； (2)若PA＝4，求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值． 2． [2023·山东烟台模拟]如图，在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，A1D⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2AD ＝2，∠DAB＝60°. (1)证明：AD⊥A1B； (2)设点P为线段DC1上一点(异于D，C1)，当DP为何值时，平面A1PB与平面AA1D1D夹角的余弦值最大？ 考点四：空间距离　 1.如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，P为平面ABCD外一点，且平面PAD⊥平面ABCD，O为AD的中点，M为PC的中点． (1)求证：OM∥平面PAB； (2)若△PAD为等边三角形，求点M到平面PAB的距离． 2．[2023·广东广州模拟]如图在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，EA⊥平面ABCD，EA∥BF，AB＝AE＝2BF＝2. (1)证明：平面EAC⊥平面EFC； (2)在棱EC上有一点M，使得平面MBD与平面ABCD的夹角为45°，求点M到平面BCF的距离． 参考答案 考点一：异面直线所成的角 1．答案：B 解析：如图，连接A1B，BC1，A1C1，由题意EF∥A1B，GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角是∠A1BC1或其补角，由正方体性质知△A1BC1是等边三角形，∠A1BC1＝60°，所以异面直线EF与GH所成的角是60°. 故选B. 2．答案：A 解析：如图，设N是棱AA1的中点，连接CN，ND1，MN， 由M是棱BB1的中点，故MN∥A1B1，MN＝A1B1， 则MN∥C1D1，MN＝C1D1，故四边形MND1C1为平行四边形， 故D1N∥C1M，所以∠ND1C是MC1和CD1所成的角或其补角． 设该正方体的棱长为2，则CD1＝2，D1N＝，CN＝＝3， 所以cos ∠ND1C＝＝＝， 故异面直线MC1和CD1所成角的余弦值为. 故选A. 3．答案：A 解析：因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形， 所以DP，DC，DA两两互相垂直， 以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 由PD＝DC＝2，得P（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），Q（0，，），所以＝（－2，2，0），＝（－2，－，）. 设异面直线AC与BQ所成的角为θ，则cos θ＝＝＝， 又θ∈（0，]，所以异面直线AC与BQ所成的角为. 故选A. 4．答案： 解析：如图所示，建立空间直角坐标系， 则A（2，0，0），B（1，，0），M（，，2），N