6.4 用样本估计总体 教案-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

《用样本估计总体》教案 课题 6.4用样本估计总体 单元 第六单元 学科 数学 年级 高一 教学目标与核心素养 1.数学建模：掌握数学建模的相关知识，为数学建模的学习打好基础的同时，也能学习利用数学建模解决实际问题。 2.直观想象：了解用样本估计总体的离散程度 3.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性 重点 难点 重点：；用样本估计总体的离散程度；频率分布直方图估计总体分布 难点：用样本估计总体的集中趋势；用样本估计总体的离散程度；频率分布直方图估计总体分布 教学过程 教学环节 教师活动 新课导入 情境导入： 我们在研究一个对象时，并不那么容易获取全部数据，这时可采用随机抽样的方法在总体中抽取样本。由于样本是从总体中抽取的部分数据，因而蕴含总体的许多信息，这使得我们有可能通过样本的某些特性去估计总体的相应特征。通常包括用样本的数字特征（如平均数、方差）估计总体的数字特征，用样本的频率分布估计总体的分布，这就是本节要学习的主要内容。 新知探究 新知探究（一）：用样本估计总体的集中趋势 在初中，我们已经学习了反映一组数据的集中趋势的数字特征，包括平均数、中位数和众数，这些数字特征同样适用于用样本估计总体的集中趋势。 下面就一起来回顾一下相关知识并作一定拓展。 平均数: 平均数也称为均值，是刻画一组数据集中趋势最主要的指标。 ●若样本容量为n,第i个个体是，则样本平均数: 在随机抽样的前提下，当样本容量增加时，样本均值会向总体均值μ接近，于是称为μ的估计。 在分层抽样中，用N表示总体A的个体总数，若将总体A分为L层，用表示第i层(i= 1, 2, ...，L)的个体总数，则有 称i= 1, 2, ...，L)为第i层的层权 对i= 1, 2, ..，L，用表示从第i层抽出样本的均值 称是总体μ的简单估计 众数: 我们称观测数据中出现次数最多的数是众数，用表示。 在抽样调查中，样本中出现次数最多的数就是样本的众数。若每个数出现的次数都相同，它就没有众数。一组数据可以有两个或多个众数。 ➢中位数: 将一组观测数据按从小到大的顺序排列后，称处于中间位置的数是中位数，用表示。当数据个数为奇数时，中间位置的数即为中位数;当数据个数为偶数时，中间两个数的平均数为中位数。 练一练： 某公司全体职工的月工资如下： （1）求该公司月工资数据组中的众数、中位数和平均数； （2）众数、中位数和平均数中的哪一个更能反映该公司的工资水平？ 解: (1) 上述数据中2000出现次数最多为22次，故众数为2000, ;将80个数据按从小到大排列，位于中间的数为2000、2500, 因此中位数为2250; 平均数为= （2）由于大多数员工的月工资都达不到平均数3115，显然用平均数作为该公司员工月工资的代表值并不合适；众数2000和中位数2250在一定程度上代表了大多数人的工资水平，较能反映月工资水平的实际情况。 众数、中位数和平均数的比较： （1）均能反映数据的集中趋势，又具有不同的特点； （2）平均数的计算要用到所有数据，能充分利用数据提供的信息，但易受极端值的影响； （3）中位数对极端值不敏感，但没有利用数据中的所有信息； （4）众数只能反映一组数据中出现次数最多的数据，也没有利用数据中的所有信息。 新知探究（二）：用样本估计总体的离散程度 数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述。 极差: 在统计学中， 我们将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将最大值与中最小值之差称为极差，用R表示。 ➢方差: 若从总体中随机抽样，获得n个观测数据、 、 …、 用表示这n个数据的均值，则称为这n个数据的样本方差。 方差在刻画一组数据的离散程度时，存在一定的局限性，如方差的单位是观测数据的单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与观测数据相同的单位，解决这一局限的方法就是引入标准差。 标准差: 标准差是方差的算术平方根。若是样本方差，则称s=是样本标准差。则样本标准差计算公式为: s= 极差、方差、标准差的比较： （1）极差是描述数据离散程度的最简单的代表值，但易受极端值的影响，不能全面地描述数据的离散程度； （2）样本方差刻画了样本数据相对于样本均值集中或离散的程度。若样本是随机抽取的，当样本容量较大时，样本方差是总体方差的估计； （3）在刻画观测数据的离散程度上，方差与标准差是一样的，样本标准差依赖于样本的选取，带有随机性，样本标准差是总体标准差的估计。 新知探究（三）：用频率分布直方图估计总体