7.1复数的概念5题型分类-2023-2024学年高一数学同步知识·题型讲义（人教A版2019必修第二册）

解题秘籍：2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义 7.1复数的概念5题型分类 一、复数的有关概念 1.复数 (1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 2.复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示. 二、复数的分类 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系. 三、复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 四、复平面 五、复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 六、复数的模 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝. （一） 复数的概念 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 题型1：复数的概念 1-1．（2024高一下·上海·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数 B．的平方根是 C．是纯虚数 D．若，则复数没有虚部 1-2．（2024高一下·江苏盐城·期中）复数的实部是（    ） A．2 B． C．2＋ D．0 1-3．（2024高一下·河北邢台·阶段练习）若复数，则实数m的值为 . 1-4．（2024高一·江苏·课时练习）若复数，则实数的值为 . 1-5．（2024高一下·福建莆田·期末）若复数，则z的虚部是（    ） A． B． C．2 D． 1-6．（2024高一下·湖南株洲·期中）已知复数 的实部和虚部分别为 和 4， 则实数 和 的值分别是 （    ） A． B． C． D． （二） 复数的分类 复数的分类:复数z＝a＋bi(a，b∈R) 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0. ②z为虚数⇔b≠0. ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 题型2：复数的分类 2-1．（2024高一下·河南信阳·期末）已知复数为纯虚数，则 . 2-2．（2024高一下·山东青岛·期末）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B．－2 C． D．4 2-3．（2024高一·全国·单元测试）实数a分别取什么值时，复数是 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数？ 2-4．（2024高一下·安徽池州·阶段练习）已知复数. (1)若复数是虚数，求实数的值； (2)若复数是纯虚数，求实数的值. （三） 复数相等的充要条件 复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的. 题型3：复数相等的充要条件 3-1．（2024高一下·山西运城·期中）已知，则 . 3-2．（2024高一·全国·专题练习）已知，，其中均为实数，且，求. 3-3．（2024高二下·河南南阳·期末）已知(i是虚数单位)，则实数x的值为 ． 3-4．（2024高一下·湖南岳阳·期末）关于的方程有实根，则实数的值为 ． （四） 复数的几何意义 复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据. (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解. 复数与平面向量的对应关系 (1)