5.4函数y=Asin(ωx+ φ)的图象与性质 教案-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

《函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象与性质》教案 课题 5.4函数的图象与性质 单元 第五单元 学科 数学 年级 高一 教学目标与核心素养 1.数学抽象：理解函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象与性质； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握角的相关知识，为角的学习打好基础的同时，也能学习利用角解决实际问题。 4.直观想象：理解函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的最大值与最小值； 5.数学运算：理解函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的周期性； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。 重点 难点 重点：了解参数函数𝐴、𝜔、𝜑 的变化对函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象的影响 难点：借助函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象理解参数𝐴、𝜔、𝜑 的意义 教学过程 教学环节 教师活动 新课导入 情境导入： 在现实世界中，人们常常用形如 (其中A、、φ是常数)的函数来表示各种周期性现象。 简谐振动中，弹簧下悬挂着的小球在位置0处于平衡状态。将小球竖直向下拉到某个位置，然后放开，小球就在平衡位置的附近往复运动。为了描述小球的坐标位置(又称位移)随着时间t的变化图像。在小球上安装一支绘图笔，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔在纸带上画出的就是小球的振动图像，如图: 借助传感器和计算机描绘小球振动的图象，如下图所示： 可以发现，这与我们熟悉的正弦曲线十分相似，那么函数 中与 之间有哪些关系呢?接下来，我们将一起探中索函数的图象，并分析参数A、、φ对图象的影响。 新知探究 新知探究（一）：函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象与性质 探究一：观察、 、 在[]上的图象，分析周期性、最值与值域之间的关系。 可以看出: ● 的图象可以由的图像上每一点的横坐标不变、纵坐标乘以2 ( 即到轴的距离放大到原来的2倍)得到。的周期仍为2π，最大值为2，最小值为-2，值域为[-2,2]。 ● 图象可以由的图像上每一点的横坐标不变、纵坐标乘以( 即到x轴的距离缩短到原来的倍)得到。 的周期仍为2π，最大值为，最小值为- ，值域为[- , ]。 结论一: 对于任意A>0且A≠1,函数的图象可由的图像上每一点的横坐标不变，纵坐标乘以A得到。 的周期仍为2π， 值域为[-A,A],最大值和最小值分别为A和- A。 探究二：观察、 、 在[]上的图象，分析周期性、最值与值域之间的关系。 可以看出: ● 的图象可以由的图像上每一点的纵坐标不变、横坐标除以2 ( 即到轴的距离缩短到原来的倍)得到。的值域、最大值和最小值都与相同，周期缩短为π。 ● 图象可以由的图像上每一点的纵坐标不变、横坐标除以( 即到轴的距离放大到原来的2倍)得到。 的值域、最大值和最小值都与相同，周期扩大为4π。 结论二: 对于任意> 0且≠1，函数的图象可由的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长(0<< 1)或缩短(> 1)为原来的而得到。 的值域为[-1,1]，周期为。 探究三：观察、 、在一个周期内的图象，分析它们之间的变化关系。 可以看出: ●的图象可以由的图像上每一点的纵坐标不变、横坐标减去 得到。即将的图象向左平移 个单位长度得到。 ● 的图象可以由的图像上每一点的纵坐标不变、横坐标加上 得到。即将的图象向右平移 个单位长度得到。 结论三: 一般地， 的图象可以由的图像向左()或向右()平移|| 个单位长度得到。 练一练： 试说明的图象是如何由变化得到的？ 先把的图像上每一点的纵坐标、横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点的横坐标不变、纵坐标伸长到原来的3倍，即可得到函数的图象。 一般地，设A>0、>0、φ是常数，函数的图象可以经过以下步骤得到： · 将正弦函数的图像向左()或向右()平移|| 个单位长度； · 再将所得曲线上的每一点的横坐标伸长伸长(0<< 1)或缩短(> 1)为原来的（纵坐标不变）； · 进一步将所得曲线上的每一点的纵坐标扩大(A>0)或缩小(0<A<1)为原来的A倍（横坐标不变）； 函数的值域为[-A,A]，周期为 典型例题 典型例题 1、画出函数的图象，并求出这个函数的周期与值域 答案：周期为，值域为[-2,2]。 分析：可以用五点法画出简图，也可以由函数经过一系列变换得到函数的图象。 · 先做出函数的图象，将正弦曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象； · 再将的图象上的每一点的纵坐标不变，横坐标缩短