4.1 实数指数幂和幂函数 教案-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

《实数指数幂和幂函数》教案 课题 4.1实数指数幂和幂函数 单元 第四单元 学科 数学 年级 高一 教学目标与核心素养 1.数学抽象：理解分数指数幂的概念以及幂函数的意义 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力 3.数学建模：掌握函数的相关知识，为函数的学习打好基础的同时，也能学习利用函数解决实际问题 4.直观想象：理解分数指数幂的运算性质 5.数学运算：理解根式的概念 重点 难点 重点：了解实数指数幂概念及运算；通过集中特殊幂函数了解幂函数的性质 难点：理解非整数指数幂（尤其是无理数指数幂）的意义 教学过程 教学环节 教师活动 新课导入 情境导入： 试一试：一张纸最多可以对折多少次？ 尝试之后可以发现，无论怎样努力，也不能令第八次折得上去 第一次对折厚度为2,面积为0.5 第二次对折厚度为4,面积为0.25 第三次对折厚度为8,面积为0.125 第八次对折厚度为256,面积为0.00390625 可见纸的厚度随着对折的次数成倍增加，而面积成倍减少。再加上纸本身的张力，将一张纸对折九次比将512张纸对折要更困难。 思考：这种成倍的变化应当以怎样的数学形式呈现呢？ 新知探究 新知探究（一）：有理数指数幂 在初中，我们学习过整数指数幂的概念，并知道以下运算法则： · 思考一下，如何将整数指数幂推广到有理数指数幂呢? 此时，需要引入根式与分数指数幂两个概念。 若一个实数，就说 · 当是奇数时，数； · 当是偶数时，正数次方根有两个，它们互为相反数。 其中正的。 根式运算比较复杂，常常要先把根式化为同次根式再按运算法则进行计算，引入分数指数幂的概念就可以大大简化根式运算： 当 由此，便可以将整数指数幂推广到有理数指数幂—— 在 练一练： 计算下列各式： （1）； （2）； （3）. 答案：（1） （2）; （3） 注意根式的几点性质： （1） （2）当 ； 当 ； 新知探究（二）：无理数指数幂 已知对任意正整数，若则那么，对于任意正有理数，和1之间是否也有类似的关系呢？ 设 则 进一步可推知 由此可得有理数指数幂的基本不等式： 对任意正数； 对任意正数 在实际问题中，指数幂既可以是有理数，也可以是无理数。当是无理数时，即称为无理数指数幂，上述有理数指数幂的基本不等式仍成立。由此可得一般的幂运算基本不等式： 对任意的正数. 对任意的负数. 新知探究（三）：幂函数 一个棱长为的正方体，所有棱长加起来是所有面的面积加起来是而这个正方体的体积为。 的函数，它们有统一的形式这种形式的函数叫作幂函数，叫作幂指数，可以是整数、分数、无理数，可正可负。 正整数次幂函数 分数次幂函数 负整数数次幂函数 · 思考：你能根据右图总结出幂函数图象的特点吗？ 一般地，对于实数次幂函数： （1）当，函数图象过（0,0）和（1,1）两点； （2）当上有定义且递减，值域为，函数图象过点（1,1），向上且与轴正向无限接近，向右与轴正向无限接近。 练一练： 比较下列各题中两个值的大小： （1）；（2）；（3）， 解析：比较两个幂的大小要看是底数相同还是指数相同。 答案：（1）函数 （2）函数 （3），∴ 比较两个幂的大小的关键是搞清楚底数与指数是否相同： （1）若底数相同利用指数函数的性质； （2）若指数相同利用幂函数的性质； （3）若指数、底数皆不同，考虑用中间值法。 典型例题 典型例题 1、下列函数中是幂函数的是（ B ） （1）；（2）； （3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8） A.（1）（2）（3）（4） B.（1）（4） C.（2）（4）（5）（6） D.（2）（4）（7） 2、把下列根式写成分数指数幂的形式： （1）；（2）；（3）. 答案： （1）；（2）；（3）. 3、求值： （1）； （2）； （3） 答案：（1） 拓展提高 设函数在[2,4]上恒成立，求的取值范围。 解：由在[2,4]上恒成立， 可得 上恒成立 函数 ∴ ∴ 即 学生和教师共同探究完成3个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力. 课堂小结 1. 有理数指数幂； 1. 无理数指数幂； 1. 幂函数。 学科网（北京）股份有限公司 $$