7.1.2 全概率公式 讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1.2全概率公式 1. 全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.我们称此公式为全概率公式. 例1 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率. 解：设“任取一零件为次品”，“零件为第台车床加工”，则，且两两互斥.根据题意得，，，，. （1）由全概率公式，得. （2）“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率. . 类似地，可得，. 2. 贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有，. 例2 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的. （1）分别求接收的信号为0和1的概率； （2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率. 解：设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”.由题意得 ，，，，. （1）； . （2） . 练习 1.已知,,,则=( ) A. B. C. D. 2.一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题中随机抽取1道题做对的概率为( ) A. B. C. D. 3.某工厂有甲、乙两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是99%和98%，已知某批产品的60%和40%分别是由甲、乙两个车间生产的，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由甲车间生产的概率为( ) A. B. C. D. 4.设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为( ) A. B. C. D. 5.（多选）甲、乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放到乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，分别用事件，，表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球，用事件B表示从乙箱中取出的球是红球，则下列结论正确的是( ) A.事件B与事件相互独立 B.事件，，两两互斥 C. D. 6.将若干红球与黄球放进一个不透明的袋子中，这些小球的大小与质量完全相同.已知袋子中红球与黄球的个数之比为，其中13的红球印有商标，3的黄球印有商标，现从袋子中随机抽取1个小球，则该小球印有商标的概率为____________. 7.有一批同规格的产品,由甲、乙、丙三家工厂生产,其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件,而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%,现从这批产品中任取一件,则取到次品的概率为______. 8.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.9，0.8，三家产品数所占的比例为，将三家产品混合在一起. （1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大？ 答案以及解析 基础知识 1.互斥 2. 练习 1.答案：A 解析：由全概率公式可得： 可得,解得：则. 故选：A. 2.答案：C 解析：设事件A表示“小胡从8道题中任选1道题且能够做对”，设事件B表示“小胡抽到有思路的题”.则，，，，故.故选C. 3.答案：D 解析：设事件为该产品是由甲车间生产的，事件为该产品是由乙车间生产的，事件A为抽取的产品是不合格品，则，， ，， 所以. 故选D. 4.答案：B 解析：设，分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品， 甲厂生产该芯片的次品率为p， 则，，，， 则由全概率公式得：，解得， 故选：B. 5.答案：BC 解析：事件的发生对事件B的发生有影响，因此事件与事件B不相互独立，故A错误；，，中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，故B正确；，故C正确；，故D错误. 故选BC. 6.答案： 解析：设抽取的小球为红球为事件，抽取的小球为黄球为事件，抽取的