2.1.2基本不等式及应用教案-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

《基本不等式及应用》教案 课题 2.1.2基本不等式及应用 单元 第二单元 学科 数学 年级 高一 教学目标与核心素养 1.数学抽象：了解基本不等式的概念 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力 3.数学建模：掌握不等式的相关知识，为不等式的学习打好基础的同时，也能学习利用不等式解决实际问题 4.数学运算:运用基本不等式来解决问题 重点 难点 重点：从不同的角度证明基本不等式 难点：从数形结合的思想理解不等式的含义，挖掘基本不等式的内涵及几何意义 教学过程 教学环节 教师活动 新课导入 情境导入： 左图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的。 你能在这个图中找出一些相等或者不等关系吗？ 设直角三角形的两条直角边分别为，那么正方形的边长为. 4个直角三角形的面积之和为： 正方形的面积为： 由此，可以得到一个不等式： 新知探究 新知探究（一）：基本不等式 通过著名的“赵爽弦图”提炼出如下不等关系： 当 而当 我们可用作差比较法给出如下证明： · 想一想：据此，你能总结出什么结论呢？ 通过著名的“赵爽弦图”提炼出如下不等关系： 当 而当 我们可用作差比较法给出如下证明： · 想一想：据此，你能总结出什么结论呢？ 我们可以得到如下定理： 定理 对任意当且仅当时等号成立。 特别地，当 推论 对任意当且仅当时等号成立。 练一练： 证明：对任意当且仅当时等号成立。 证明： ∴ 当且仅当时等号成立。 新知探究（二）基本不等式的应用 · 思考： 把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ 【例题】把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ 解：设这两个正数为 由： 当且仅当 所以，把12写成两个的乘积时，它们的和最小，最小和为4 练一练： 把25写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大。 解：设两个正数为 由可得： 当且仅当时等号成立，此时 所以，把25写成两个的和时，它们的积最大，最大积为 已知都为正数，则： （1）如果积和有最小值； （2）如果和，那么当且仅当有最大值； 典型例题 典型例题 1、对任意三个正实数，求证： 当且仅当时等号成立。 证明：因为由基本不等式，得： ， 把上述三个式子的两边分别相加，得： 即 当且仅当时等号成立 2、 解：∵ ∴ ∴ 当且仅当时等号成立 因此，当时，函数取到最大值 3、设 （1）； （2）. 证明：（1）由基本不等式，得： 当且仅当 （2）由基本不等式，得： 当且仅当 拓展提高 某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆弧相连接。已知这块绿景观地带的内圈周长为400m，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？ 解：设平行线段长m，半圆形直径为m，中间矩形区域面积为 由题意可知： ∴ 当且仅当 ∴当平行线段的长设计为100m时，中间矩形区域的面积最大，最大值为 学生和教师共同探究完成3个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力. 课堂小结 1. 基本不等式； 1. 基本不等式的应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$