2024年九年级数学中考二模复习专题——圆综合（证切线）

2024年九年级数学中考二模复习专题—— 圆综合（证切线） 1．如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，以点为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D． (1)与相似吗？为什么？ (2)如图2，弦交x轴于点P，且，求； (3)如图3，过点D作的切线，交x轴于点Q．点G是上的动点是否变化？若不变，请求出比值，若变化，请说明理由． 2．问题呈现： 如图1，⊙O是的外接圆，，弦，交的延长线于点E．求证：是⊙O的切线． 问题分析： 连接，要证明是⊙O的切线，只要证明 ，由题意知，故只需证明 ． 解法探究： （1）小明对这个问题进行了如下探索，请补全他的证明思路： 如图2，连接，由是圆内接四边形的一个外角，可证，因为，所以 ，因为，所以 ，利用同弧所对的圆周角相等和等量代换，得到 ，所以，从而证明出是⊙O的切线． （2）如图3，连接，作直径交于点H，小丽发现，请说明理由． （3）利用小丽的发现，请证明是⊙O的切线．（要求给出两种不同的证明方法）． 3．如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 4．如图，是圆O的直径，O为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点E．    (1)判断直线是否为的切线，并说明理由； (2)如果，，求的长． (3)在（2）的条件下，将线段以直线为对称轴作对称线段，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形为菱形． 5．如图，在中，，以为直径的圆O交于D，E是的中点，交的延长线于F．    (1)请按照题意只用圆规和直尺补充好图形； (2)求证：是圆O的切线； (3)若，，求的长． 6．如图，在平面直角坐标系中，过外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若，则称P为的环绕点． (1)当半径为2时， ①在中，的环绕点是 ； ②直线与轴交于点，轴交于点，若线段上存在的环绕点，求的取值范围； (2)的半径为，圆心为，以为圆心，为半径的所有圆构成图形，若在图形上存在的环绕点，直接写出的取值范围． 7．已知矩形，，，点O是的中点，以为直径作圆，点是圆上的点．    (1)如图1，连接，若是圆O的切线， ①求证：； ②设与交于点F，求的长． (2)若动点G从点B向C运动，连接，作四边形关于直线对称图形四边形，如图2．求点G在运动过程中线段扫过的面积． 8．如图1，在等腰三角形中，，O为底边的中点，过点O作，垂足为D，以点O为圆心，为半径作圆，交于点M，N．    (1)与的位置关系为 　　； (2)求证：是的切线； (3)如图2，连接，，，求的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：） 9．如图，在中，O为上一点，以点O为圆心，为半径作圆，与相切于点C，过点A作交BO的延长线于点D，且．    (1)若，则　 　°； (2)求证：为的切线； (3)若，，求的长． 10．如图，以的一边为直径作，与边的交点恰好为的中点，过点作．    (1)求证：为圆O的切线； (2)连接交于点F，若，求的值． 11．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．    (1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． (2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长． 12．如图，是的直径，点在圆上，点在圆外，点和点在直径的同侧，与相交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的面积． 13．如图，为半圆O的直径，D为的延长线上一点，为圆O的切线，切点为C．    (1)尺规作图：作的平分线分别交于点E、F，并求的值；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，若，，求的长 14．已知为圆的直径，为圆上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交圆于点．    (1)如图，求证：平分； (2)如图，若，，过作交圆于点，连接，求圆半径和． 15．如图，在中，为直径，四边形为圆内接四边形，点为线段延长线上一点，连接，若． 求证： (1)为切线； (2)若为中点，，，，求的半径长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)相似 (2) (3)的值不变， 2．问题分析：⊥， 解法探究： （1），， （2） 3．(2)在边上存在一点使有最小值．的最小值为． 4．(1)是的切线 (2)1； 5．(3) 6．(1)①，；②满足条件的的值为或； (2)． 7．(1)② (2) 8．(1)相切 (3)9.8 9．(1) (3) 10．(2) 11．(1