3.2 复数的四则运算 学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

3.2 复数的四则运算 【学习目标】 1.掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算法则.(逻辑推理、数学运算) 2.能正确进行复数代数形式的四则运算.(逻辑推理、数学运算) 3.掌握复数范围内一元二次方程的求根公式,并会在复数范围内解一元二次方程.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.多项式的加、减运算实质是合并同类项,类比思考:复数z1=1+2i与z2=3+i如何加减? 2.两个实数之和仍是一个实数,两个复数之和仍是一个复数,那么两个虚数之和仍是一个虚数吗? 3.复数的加法满足交换律和结合律吗? 4.如何在复数范围内求方程的解? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个虚数的和或差可能是实数. (　　) (2)在进行复数的加法时,实部与实部相加得实部,虚部与虚部相加得虚部. (　　) (3)复数与复数相加减后结果只能是实数. (　　) (4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形. (　　) 2.已知复数z+3i-3=3-3i,则z=(　　). A.0 B.6i C.6 D.6-6i 3.复数(1+i)2(2+3i)的值为(　　). A.6-4i B.-6-4i C.6+4i D.-6+4i 4.i是虚数单位,复数=　　　　.  【合作探究】 探究1　复数的加减运算 随着生产发展的需要,我们将数的范围扩展到了复数.运算是“数”的主要功能,复数不同于实数,它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体. 问题1:复数如何进行加、减运算呢? 问题2:类比多项式的加、减运算,想一想复数又如何进行加、减法运算? 问题3:两个复数的和或差得到的结果是什么? 问题4:复数的加法法则可以推广吗? 新知生成 1.复数的加、减运算 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数, 则(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 2.复数加法的交换律和结合律 复数的加法满足交换律和结合律,即对任意复数z1,z2,z3,有(1)z1+z2=z2+z1,(2)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 新知运用 例1　(1)+(2-i)-=　　　　.  (2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,则z=　　　　.  方法指导　(1)根据复数的加法与减法法则计算.(2)设z=x+yi(x,y∈R),根据复数相等的要求计算或把等式看作z的方程,通过移项求解. 【方法总结】　　复数代数形式的加(减)法运算技巧:复数与复数相加(减),相当于多项式加(减)法的合并同类项,将两个复数的实部与实部相加(减),虚部与虚部相加(减). 已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),设z=z1-z2,且z=13-2i,求z1,z2. 探究2　复数的乘法与乘方 问题1:我们知道复数的加减类似于多项式加减,试想复数相乘类似什么呢? 问题2:复数的乘法与多项式的乘法有何不同? 问题3:|z|2=z2,正确吗? 新知生成 1.复数的乘法 (1)复数的乘法规定 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(a,b,c,d∈R). (2)复数乘法的运算律 对任意复数z1,z2,z3,有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 2.复数的乘方 对任意复数z,z1,z2及正整数m,n,有 zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=. 规定i0=1.特别地,i=i,i2=-1,i3=-i,i4=1, i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1,其中n∈Z. 新知运用 例2　(1)若z=(i+1)2023,则z的虚部是(　　). A.21011 B.-21011 C.21011i D.-21011i (2)-i28+(10+i29)=　　　　.  方法指导　(1)根据复数乘法可得(i+1)2=2i,根据复数的运算结合i的性质分析运算,即可得结果.(2)利用in的周期性、复数的四则运算计算求解. 【方法总结】　　两个复数代数形式乘法的一般方法:复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等.注意复数乘方及虚数单位周期性的应用. 1.复数(1+i)22=(　　). A.2048i B.2048 C.-2048i D.-2048 2.(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i)=　　　　.  探究3　复数的除法 类比根式除