6.3.2二项式系数的性质课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.2 二项式系数的性质 第六章 计数原理 1 七彩城就梦想 学习目标 会用“赋值法”求展开式系数的和.(难点) 1 2 能记住二项式系数的性质,并能解决相关问题.(重点) 探究 用计算工具计算(a+b)n的展开式的二项式系数,填写如下表. n (a+b)n的展开式的二项式系数 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 从表中可以发现,每一行中的系数具有对称性,除此以外还有什么规律呢?为了便于发现规律,上表还可以写成如图所示的形式. 观察上图,还能发现哪些规律? (1)每行两端的数都是1; (2)系数呈对称分布;与首末两端“等距离”的两个系数相等; (3)同一行中,系数先增后减,两端的系数小,中间的系数大. (4)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. 探究 n=7 n=8 n=9 性质1. 对称性 性质2. 增减性与最大值 性质3. 各二项式系数的和 例题分析——赋值法在二项式系数中的应用 “赋值法”是解决二项展开式中项的系数的常用方法,根据题目要求,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令x=0可得常数项,令x=1可得所有项系数之和,令x=-1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差. 技巧归纳1 (1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大. (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式组,解不等式的方法求得. 技巧归纳2 课堂小练 C D A A B AC 70 10 5 课堂小结: 1.二项式系数的性质. 2.赋值法求各项系数的和. 例如,当时,函数的图象是7个离散点,如图所示. 对于的展开式的二项式系数, 还可以从函数的角度分析它们. 可看成以r为自变量的函数, 其定义域是. 对于确定的n,还可以画出它的图象, (1)观察右图,你发现了什么规律? (2)分别画出时的图象,比较它们的异同, 发现了什么规律? 直线将函数的图象分成对称的两部分, 它是图象的对称轴. 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上,这一性质可直接由 得到. 因为 ,即 , 所以,当 ,即 时, 随 的增加而增大;由对称性知, 当 时, 随 的增加而减小. 当 是偶数时,中间的一项 取得最大值;当 是奇数时,中间的两 项 和 相等,且同时取得最大值. 已知 , 令 ,得 . 这就是说, 的展开式的各二项式系数的和等于 . 证明:在展开式 中, 令 , ,则得 . 即 . 因此 , 即在 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 例 求证:在 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的 二项式系数的和. 解析:由题意,的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等, 即,因此,故所有项的二项式系数和为,故选C. 1.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则所有项的 二项式系数和为( ) A. B. C. D. 解析:在的展开式中含的项的系数为.故选D. 2.在的展开式中含的项的系数等于( ) A.280 B.300 C.210 D.120 解析:由的展开式中各二项式系数之和为256,可得,解得,故其展开式的通项为,令,5,8,则其展开式中有理项系数之和为,故选A. 3.若的展开式中各二项式系数之和为256,则其展开式中有理项系数之和为( ) A.85 B.84 C.57 D.56 4.若的展开式中所有二项式系数之和为64,则展开式中的常数项是( ) A.240 B.-240 C.160 D.-160 解析:因为的展开式中所有二项式系数之和为64,所以, 解得,所以,其展开式的通项为,其中,, 令,解得,所以展开式中的常数项为. 故选A. 5.若的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式的常数项是( ) A.360 B.180 C.90 D.45 解析:因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式中第6项为中间项,所以总共11项,故,的展开式的通项为,令,得,此时展开式的常数项为.故选B. 6.(多选)对于的展开式,下列结论正确的是( ) A.各项系数之和为0 B.二项式系数的最大值为 C.不存在常数项 D.x的系数为-28 解析:对于,令,可得各项系数之和为,故A正确; 对于B,二项式系数的最大值为,故B错误;对于C,的展开式的通项为,令,解得,因为r不是非负整数,所以不存在常数项,故C正确;对于D,的展开式的通项为,令,解得,则x的系数为,故D错误.故选AC. 解析:由只有第5项的二项式系数最大可得:, 通