2024年九年级中考数学专题03--费马点模型

中考专题03--费马点模型 【模型背景】 费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题。在一个三角形所在平面，找到一点，到三角形三个顶点的距离之和最小。费马成功的找到了这样的点，即“费马点”。 费马点在最新教材中已不再提及，数学老师通常在课堂上作为拓展知识来讲解，但正是由于是拓展知识，很多学生不会太重视，甚至当初耳边风。 10年前的中考题里，考察这一知识点的情况比较常见。近年来，为了给学生减负，费马点问题不再作为考试大纲的考点。但是，有时候还是会以探索类的题型出现，就是换着花样来考。因此，为了在残酷的竞争中取得优势，我们仍然要把它作为一个重要的知识点加以掌握。 【基础模型】 费马点模型：在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小. 当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点. （特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A） （这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 费马点最小值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 费马点证明： （1）最大的角要小于120º （2）最大的角要大于120º 【例题】 例题1.已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长． 例题2.如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为      ． 例题3.已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个定点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point）。已经证明：在三角内角均小于120的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120时，P就是△ABC的费马点。若点P是腰长为的等腰直角△DEF的费马点，则PD+PE+PF=_______________。 【变式训练】如图，P是锐角△ABC所在平面上一点，如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P就叫做△ABC费马点。 （1）当△ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为； （2）若点P是△ABC的费马点，∠ABC＝60°，PA＝2，PC＝3，则PB的值为； （3）如图2，在锐角△BC外侧作等边△ACB'，连接BB'.求证：BB'过△ABC的费马点P. 课后训练 1.如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为（　　） A． B． C．4 D．3 2.如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为 . 3. 如图,在平面直角坐标系x0y中,点B的坐标为(0,2),点D在 x 轴的正半轴上,∠ODB=30°,OE为△BOD的中线,过B,E两点的抛物线,c与x轴相交于A,F两点(A在F的左侧). (1)求抛物线的解析式; (2)点P为△ABO内的一个动点,设m= PA+PB+PO,请求出m的最小值,以及m取得最小值时,线段 AP 的长. 4. 如图,在正方形ABCD 中,AB=8,点P在BC边上,且BP=2，点Q是AD的中点,点M是正方形ABCD内部一点,连接MP， MQ,MC,则 MP+MC+MQ的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$