第六章 平面向量及其应用 单元基础讲义-2023-2024学年高一下学期数学基础巩固系列人教A版（2019）必修第二册

莫道桑榆晚，为霞尚满天 专题1.1---单元复习基础讲义 第六章 平面向量及其应用 基础知识 【6.1】平面向量的概念 Ⅰ.知识点梳理 1、 向量的定义及表示（向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移） （1）定义：既有 又有 的量叫做向量. （2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素： 、 、 ； ②向量的表示： 2、向量的有关概念：相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量 向量名称 定义 （3）向量的模（长度） 向量的大小，称为向量的 (或称模)，记作|| （4）零向量 长度为 的向量，记作0 （5）单位向量 长度等于 个单位长度的向量，与非零向量a共线的单位向量是或－ （6）平行向量 （共线向量） 方向 或 的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b， 规定：零向量与任一向量 ，即对任意向量a，都有 （7）相等向量 长度 且方向 的向量；向量a，b相等，记作a＝b Ⅱ.例题 例1-1下列说法正确的是(　　) A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 例1-2如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________． Ⅲ.针对练习 1-1.下列命题中，正确命题的个数是(　　) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等； ④与非零向量a共线的单位向量是. A．3　　　　　　　　　　　 B．2 C．1 D．0 1-2.如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是(　　) A.＝ B.∥ C.||＝|| D.＝ 1-3.已知正方形ABCD的边长为1， =a， =b，则a+b的模等于（   ） A. 1  B. 2  C.   D.  学习笔记 【6.2】平面向量的运算 Ⅰ.知识点梳理 1、向量的加法 （1）定义：求两个向量和的运算. （2）运算法则： 向量求和的法则 图示 几何意义 三角形法则 使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量（OC是▱OACB的对角线）就是向量a与b的和 （3）规定：对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. （4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. （5）|a＋b|，|a|，|b|之间的关系 一般地我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b____时等号成立. （6）向量加法的运算律 交换律 a＋b＝____ 结合律 (a＋b)＋c＝____ 2、向量的减法 （1）相反向量（利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法） 定义：我们规定，与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的相反向量，记作 性质：①对于相反向量有：－（－a）＝ ，a＋（－a）＝ ；②若a，b互为相反向量，则a＝ ，b＝ ，a＋b＝ ；③零向量的相反向量仍是零向量 （2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算） 定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法. a－b＝ ，减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量. 几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 3、向量的数乘运算（实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算） （1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝ ；②当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；当λ<0时，λa的方向与a的方向 . ③由①可知，当λ＝0时，λa＝0；由①②知，（－1）a＝－a. （2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa）＝ ；②（λ＋μ）a＝ ；③λ（a＋b）＝ ； 特别地，有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb. （3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向 量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a±μ2b）＝ . （4）共线向量定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 4、向量的数量积 （1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范