8.2一元线性回归模型及其应用4题型分类-2023-2024学年高二数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

8.2一元线性回归模型及其应用4题型分类 一、一元线性回归模型 我们称为Y关于x的一元线性回归模型，其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差． 二、线性回归方程 1．我们将＝x＋称为Y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线． 2．回归直线方程过样本点的中心(，)，是回归直线方程最常用的一个特征． 三、最小二乘法 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计(least squares estimate )，其中． 四、残差的概念 1．对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 2．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 五、刻画回归效果的方式 1．残差图法：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好． 2．残差平方和法：残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差． 3．利用R2刻画回归效果：决定系数R2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力．，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差． （一） 求回归直线方程 1.回归直线方程： 我们将＝x＋称为Y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．其中. 2.求线性回归方程的一般步骤： (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)(数据一般由题目给出)． (2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系． (3)把数据制成表格xi，yi，x，xiyi. (4)计算，，x，xiyi. (5)代入公式计算，，公式为 (6)写出线性回归方程＝x＋. 题型1：求回归直线方程 1-1．（2024·全国·模拟预测）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第天的滑雪人数（单位：百人）的数据. 天数代码 1 2 3 4 5 滑雪人数（百人） 9 11 14 26 20 经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立关于的回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利. 参考公式：线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为. 1-2．（2024高三上·江苏南通·期末）大气污染物PM2.5(大气中直径小于或等于2.5μm的颗粒物)的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康.为了研究PM2.5的浓度受汽车流量影响的程度，某校数学建模社团选择了学校附近5个监测点，统计每个监测点24h内过往的汽车流量(单位：千辆)，同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的PM2.5的平均浓度(单位：μg/m3)，得到的数据如下表所示： 监测点编号 1 2 3 4 5 汽车流量 1.3 1.2 1.6 1.0 0.9 PM2.5浓度 66 72 113 34 35 根据以上信息，完成下列问题： (1)建立PM2.5的浓度关于汽车流量的一元线性回归模型； (2)我国规定空气中PM2.5的浓度安全标准为24h平均浓度为75μg/m3，该地为使PM2.5 24h平均浓度不超过68.6，拟对汽车流量作适当控制，请你根据本题数据估计汽车流量控制的最大值； (3)从5个监测点中抽取3个，记PM2.5平均浓度不超过68.6的个数为X，求X的分布列和数学期望. 参考公式：＝＝，＝－. 1-3．（2024高二上·河南安阳·开学考试）一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果： 转速x（转/秒） 16 14 12 8 每小时生产有缺陷的零件数y（件） 11 9 8 5 （1）画出散点图；（2）如果y与x有线性相关的关系，求回归直线方程； （3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？ 1-4．（2024高二下·陕西西安·期末）汽车尾气中含有一氧化碳（），碳氢化合物（）等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用