海南省海南华侨中学2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学试题

海南华侨中学2024届高三年级第二次模拟考试 数学试卷 命题教师：古其远 朱利兵 审题教师：黄玲玲，徐香 考试时间：2024年3月28日 满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则=（ ） A B. C. D. 2 2. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 设平面向量，，且，则=（ ） A. 1 B. 14 C. D. 4. 过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，则（ ） A. B. C D. 6. 如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（ ） A 24 B. 26 C. 29 D. 36 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得相应分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（ ） A. B. 奇函数 C. 若，则 D. 10. ，分别为随机事件，的对立事件，下列命题正确的是（ ） A. 若，为相互独立事件且，则 B. 若，则 C. D. 若，，则 11. 定义在的函数满足，且，若都有成立，若方程的解构成单调递增数列，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若数列为等差数列，则公差为6 C. 若，则 D 若，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，则的最小值为__________． 13. 米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为，两个底边长分别为和，则该米斗的外接球的表面积是__________． 14. 在平面直角坐标系中，双曲线（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与的左、右两支分别交于、两点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则的离心率为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15. 已知平面四边形（图1）中，，均为等腰直角三角形，，分别是，的中点，，，沿将翻折至位置（图2），拼成三棱锥． （1）求证：平面平面； （2）当二面角的平面角为时，求点到面的距离． 16. 已知中，，在的内部有一点满足且． （1）若为等边三角形，求的值； （2）若，求的长． 17. 如图，已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，椭圆的离心率为，的面积为1，若过点的直线与相交于，两点，过点作轴的平行线分别与直线，交于点，． （1）求椭圆的方程； （2）求证：，，三点的横坐标，，满足关系式． 18. 某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为． （1）求某学生第二天选择甲餐厅就餐的概率； （2）记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望； （3）求出的通项公式，并证明：当时，． 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. （1）证明：； （2）设，证明：； （3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围. 海南华侨中学2024届高三年级第二次模拟考试 数学试卷 命题教师：古其远 朱利兵 审题教师：黄玲玲，徐香 考试时间：2024年3月28日 满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二