河南省信阳市新县高级中学2023届高三第三轮适应性考试（四）理科数学试题

★2023年5月23日★ 新县高中2023届高三第三轮适应性考试（四） 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设集合，集合为20以内的质数，则集合的元素个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 设(其中为虚数单位)，则的共轭复数是（　　） A. B. C. D. 3. 已知函数，则对任意实数是（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 不充分且不必要条件 4. 苏格兰数学家科林·麦克劳林（Colin Maclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，其中一个为：，据此展开式，如图所示的程序框图的输出结果S约为（ ）（参考数据：，，） A. 1.6931 B. 0.6931 C. 1.0990 D. 0.8813 5. 设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，为坐标原点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，且满足，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知且，且，且，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 在四面体中，平面，三内角，，成等差数列，，，则该四面体的外接球的表面积为（ ） A B. C. D. 8. 已知数列满足，且总等于的个位数字，则的值为（ ） A. 7 B. 21 C. 49 D. 63 9. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”；下列有关说法中： ①对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； ②函数是圆的一个太极函数； ③存在圆，使得是圆的太极函数； ④直线所对应函数一定是圆的太极函数． 所有正确说法的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②④ D. ②③ 10. 已知椭圆：与双曲线：（，）有共同的焦点，，且在第一象限的交点为，满足（其中为原点）.设，的离心率分别为，，当取得最小值时，的值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数a的最小值为 A. B. 1 C. D. 3 12. 定义表示不超过的最大整数，如，．若数列的通项公式为，为数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 展开式中项的系数为________． 14. 已知x，y满足，且的最大值是最小值的2倍，则满足条件的可行域的面积是__________． 15. 已知平行四边形面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则的最小值为___________． 16. 在中，内角的对边分别为，若且为的外心，为的重心，则的最小值为______． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （一）必考题：第题为必考题，每个试题考生都必须作答．共60分． 17. 已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为. （1）求的值； （2）在锐角中，若，求的取值范围. 18. 如图所示，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，． （1）求证：平面； （2）点M在线段上运动，当点M在什么位置时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 19. 中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛．由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛．季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）．下表是A队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表． 阶段 比赛场数 主场场数 获胜场数 主场获胜场数 第一阶段 30 15 20 10 第二阶段 30 15 25 15 （1）根据表中信息，是否有的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？ （2）已知A队与队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，A队除第五场比赛获胜的概率为外，其他场次比赛获胜的概率等于A队常规赛60场比赛获胜的频率．记为A队在总决赛中获胜的场数．求的分布列和期望． 附：． 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 20. 已知双曲线：的虚轴