考点练10 解三角形-2024届高三数学一轮复习

考点练10　解三角形 考点一：正弦定理、余弦定理 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝30°，b2＋c2－a2＝4，则△ABC的面积为(　　) A． B． C．1 D．2 2．[2023·河南郑州模拟]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋a＝2c，3sinC＝5sin B，则A＝________． 3．[2023·安徽蚌埠模拟]记△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，已知sin C＝sin A sin B，CD⊥AB于D. (1)证明：CD＝c； (2)若a2＋b2＝ab，求sin C的值． 4．[2023·河北邯郸模拟]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝. (1)求B. (2)若a＝2，c＝1，________，求|BD|. 在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 考点二：三角形中的最值、范围问题　 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a2sin A，则cos A的最小值为(　　) A． B． C． D． 2．[2022·全国甲卷]已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________． 3．[2023·河北石家庄模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a cos C－a sin C＝b. (1)求角A的大小； (2)若a＝2，求BC边上的中线AD长度的最小值． 4．[2023·黑龙江齐齐哈尔模拟]在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝. (1)求角C的大小； (2)若c＝，角A与角B的内角平分线相交于点D，求△ABD面积的取值范围． 考点三：以平面多边形为背景解三角形 1．[2023·福建龙岩模拟]在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，∠ADC＝120°，CD＝2，AC＝3，BC＝9，则AB＝________． 2. 如图所示，在平面四边形ABCD中，∠ADC＝，∠BCD＝，5BC＝2CD，AB＝， AD＝3. (1)求tan ∠BDC的值； (2)求BD. 3．[2023·广东广州模拟]如图，在四边形ABCD中，BD<AD，sin (－A)cos (＋A)＝. (1)求角A的值； (2)若AB＝，AD＝3，CD＝1，∠C＝2∠CBD，求四边形ABCD的面积． 考点四：三角函数、解三角形与数学文化　 1．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．折叠剪纸是民间最常见的一种剪纸制作方法，所谓折叠剪纸即经过不同方式折叠剪制而成的剪纸，它具有折法简明，制作简便，省工省时等特点．如图，某同学将一张三角形纸片ABC沿角平分线AD对折后，点C恰好落在边AB上，得到三角形纸片A′BD.已知AB＝2，A′D＝2，∠A′BD＝30°，则对折前∠BAC＝(　　) A． B． C． D． 2．[2023·河北邯郸模拟]我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已具有很高的数学水平．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，S表示△ABC的面积，其公式为S＝ .若b＝，＝，则△ABC的面积S的最大值为(　　) A． B．1 C． D． 3．[2023·广东肇庆模拟]《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”(以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成)，用数形结合法给出了勾股定理的详细证明．现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若AF＝6，BF＝4，G、F两点间的距离为2，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为(　　) A．9 B．4 C．3 D．8 4.法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC而言，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝4.则△BPC的外接圆半径长为________． 参考答案 考点一：正弦定理、余弦定理 1．答案：C 解析：因为A＝30°，b2＋c2－a2＝4，所以2bc cos A＝bc＝4，所以bc＝4，所以△ABC的面积为bc