5.4 利用轴对称进行设计练素养等腰三角形中作辅助线的七种常用方法 练习课件 2023-2024学年北师大版数学七年级下册

练素养　等腰三角形中作辅助线的七种常用方法 北师版七年级下 集训课堂 第五章　生活中的轴对称 温馨提示：点击 进入讲评 习题链接 1 2 3 4 5 6 7 　　在几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中， 使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.例如：作“三线” 中的“一线”或平行线说明线段相等，利用截长补短法说明 线段和、差关系或求角的度数，利用倍长中线法说明线段的 倍分关系等，将不在同一个三角形中的线段转移到同一个三 角形(两个全等三角形)中，然后运用等腰三角形(全等三角 形)的性质来解决问题. 名师点金 方法1　等腰三角形中有底边中点时，常作底边上的中线 1.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中 点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.试说明： (1)DE＝DF； 集训课堂 【解】(1)如图，连接AD.因为AB＝AC，D为BC的中点， 所以AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C. 因为∠BAC＝90°， 所以∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°， 易得AD＝BD. 在△BED和△AFD中， 所以△BED≌△AFD(SAS)，所以DE＝DF. 集训课堂 (2)DE⊥DF. 【解】因为△BED≌△AFD，所以 ∠BDE＝∠ADF， 所以∠BDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA＝90°， 所以∠EDF＝90°，所以DE⊥DF. 集训课堂 方法2　等腰三角形中没有底边中点时常作底边上的高 2.[2023·武汉黄陂区期中]如图，点D，E在△ABC的边BC上 (不与点B，C重合)，AB＝AC，AD＝AE. (1)如图①，试说明：BD＝CE； 集训课堂 【解】(1)如图①，过点A作AH⊥BC于点H. 因为AB＝AC，AD＝AE，AH⊥BC， 所以BH＝CH，DH＝EH， 所以BH－DH＝CH－EH， 即BD＝CE. 集训课堂 (2)如图②，当AD＝CD时，过点C作CM⊥AD于点M.若DM ＝2，求CD－BD的值. 集训课堂 【解】如图②，过点A作AH⊥BC于点H. 因为CM⊥AD，AH⊥BC， 所以∠CMD＝∠AHD＝90°. 在△CMD和△AHD中， 所以△CMD≌△AHD(AAS)，所以DM＝DH， 所以CD－BD＝(CH＋DH)－(BH－DH)＝2DH＝2DM＝4. 集训课堂 方法3　等腰三角形中说明与底有关的线段相等时常作底的 平行线 3.如图，在等边三角形ABC中，D是边AC的延长线上一点， 延长BC至点E，使CE＝AD，DG⊥BE于点G.试说明：BG ＝EG. 集训课堂 【解】如图，过点D作DF∥BE，交AB的延长线于点F，则 ∠ABC＝∠F，∠ACB＝∠ADF. 因为△ABC是等边三角形， 所以AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°， 所以∠AFD＝∠ADF＝60°， 易得△ADF是等边三角形， 所以AD＝FD＝AF， 所以AD－AC＝AF－AB，即CD＝BF. 集训课堂 因为AD＝CE，所以FD＝CE. 因为∠DCE＝∠ACB＝60°，所以∠DFB＝∠ECD. 在△FBD和△CDE中， 所以△FBD≌△CDE(SAS)， 所以DB＝ED，即△BDE是等腰三角形. 又因为DG⊥BE于点G，所以G为BE的中点， 所以BG＝EG. 集训课堂 方法4　等腰三角形中说明与腰有关的线段相等时常作腰的 平行线 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发，沿线段BA 移动(点P不与点A，B重合)，同时，点Q从点C出发，沿线 段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同， PQ与BC相交于点D. (1)试说明：PD＝QD. 集训课堂 【解】(1)如图，过点P作PF∥AC交BC于点F. 因为点P和点Q同时出发，且速度相同，所以BP＝CQ. 因为PF∥AQ，所以∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠DQC. 又因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB， 所以∠B＝∠PFB，易得PB＝PF，所以PF＝CQ. 在△PFD和△QCD中， 所以△PFD≌△QCD(AAS)，所以PD＝QD. 集训课堂 (2)过点P作BC的垂线，垂足为E，点P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由. 【解】线段DE的长度保持不变. 理由：由(1)知PB＝PF. 因为PE⊥BF，所以BE＝EF. 由(1)知△PFD≌△QCD，所以FD＝CD， 所以ED＝EF＋FD＝BF＋CF＝BC， 所以线段DE的长度保持不变. 集训课堂 方法5　补形法构造等腰三角形 5.如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.试说明： (1)BE＝CE； 集训课堂 【解】(1)如图，延长AB，DE交于点F. 因为AB∥CD，所以∠2＝∠F. 又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠2＝∠F， 易得AD＝