6.3.1 二项式定理课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章 计数原理 6.3.1 二项式定理 01 02 03 学习目标 会用二项式定理解决有关的简单问题．(重点) 能用计数原理证明二项式定理．(难点) 掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点) 我们知道， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3. (1) 观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律? (2) 根据你发现的规律，你能写出(a＋b)4的展开式吗? (3) 进一步地，你能写出(a＋b)n的展开式吗? 探究 思考 Sales 1st Qtr 2nd Qtr 75 25 Sales 1st Qtr 2nd Qtr 75 25 猜想证明 二项式定理 例题解析 运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 技巧归纳 利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第k项、常数项、含某字母的k次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定Tk＋1中k的值或取值范围以满足题设的条件． 技巧归纳 Sales 1st Qtr 2nd Qtr 75 25 巩固小练 C D D A 31 60 24 Sales 1st Qtr 2nd Qtr 75 25 课堂小结： 1．二项式定理． 2．二项展开式的通项公式． 先来分析 的展开过程.根据多项式乘法法则， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 可以看到， 是2个 相乘，只要从一个 中选一项（选a或b），再从另一个 中选一项（选a或b），就得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前， 的展开式共有 EMBED Equation.DSMT4 项，而且每一项都是 的形式. 再来分析一下形如 的同类项的个数. 当 时， ，这是由2个 中都不选b得到的.因此， 出现的次数相当于从2个 中取0个b（即都取a）的组合数 ，即 只有1个； 当 时， ，这是由1个 中选a，另1个 中选的.由于b选定后，a的选法也随之确定，因此， 出现的次数相当于从2个 中取1个b的组合数 ，即 共有2个； 当 时， ，这是由2个 中都选b得到的.因此， 出现的次数相当于从2个 中取2个b的组合数 ，即 只有1个. 由上述分析可以得到： . ， . 仿照上述过程，能利用计数原理，写出 ， 的展开式吗？ 从上述对具体问题的分析得到启发，对于任意正整数n，有如下猜想： . 由于 是n个 相乘，每个 在相乘时有两种选择，选a或b，而且每个 中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前， 的展开式共有 项，其中每一项都是 的形式. 对于某个 ，对应的项 是由 个 中选a，另外k个 中选b得到的.由于b选定后，a的选法也随之确定，因此， 出现的次数相当于从n个 中取k个b的组合数 .这样， 的展开式中， 共有 个，将它们合并同类项，就可以得到上述二项展开式. 公式 叫做二项式定理， 右边的多项式叫做 的二项展开式， 其中各项的系数 叫做二项式系数. 式中的 叫做二项展开式的通项，用 表示， 即通项为展开式的第 项： . 在二项式定理中，若设 ，则得到公式： . 解：根据二项式定理， . 例1 求 的展开式. 例2 （1）求 的展开式的第4项的系数； （2）求 的展开式中 的系数. 解：（1） 的展开式的第4项是 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 因此，展开式第4项的系数是280. （2） 的展开式的通项是 . 根据题意，得 ， . 因此， 的系数是 . 解析：的展开式的通项为， 因此，故选C. 1.的展开式中的第4项是( ) A. B. C. D. 解析：的展开式的通项为. 令，可得的系数为，故选D. 2.的展开式中的系数为( ) A.80 B.-80 C.40 D.-40 解析：展开式的通项为，令，解得，所以，则，得，解得.故选D. 3.若的展开式中含项的系数是8，则实数m的值是( ) A.2 B. C. D. 解析：令，得，令，得，因为的展开式中含的项为，所以，所以，故选A. 4.若，则的值是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：令，得，令，得， 即，所以. 5.已知，则__________. 解析：的