第七章 7.5 正态分布课件-2023-2024学年高二数学人教A版2019选择性必修第三册

§7.5　正态分布 第七章　随机变量及其分布 1 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线 所表示的意义. 2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ] 内的概率大小. 3.会用正态分布去解决实际问题. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 1.我们称f(x)＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密 度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. 2.若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为 .特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布. 知识点一　正态曲线与正态分布 X～N(μ，σ2) 3.若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积. 思考1　正态曲线f(x)＝ ，x∈R中的参数μ，σ有何意义？ 答案　μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ； σ>0表示标准差，D(X)＝σ2. 一个正态密度函数由μ，σ唯一确定，π和e为常数，x为自变量，x∈R. 思考2　若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？ 答案　若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a<X≤b)为区域B的面积，X可取(a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量. 1.对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的 . 2.曲线与x轴之间的面积为 . 3.曲线是单峰的，它关于直线 对称. 4.曲线在 处达到峰值 . 5.当|x|无限增大时，曲线无限接近 轴. 知识点二　正态曲线的特点 上方 1 x＝μ x＝μ x 6.当 一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着 的变化而沿x轴平移，如图①. σ μ 7.当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ ； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ ； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ . 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 知识点三　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 0.682 7 0.954 5 0.997 3 1.正态曲线中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差.(　　) 2.正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的. (　　) 3.正态曲线可以关于y轴对称.(　　) 4.若X～N(μ，σ2)，则P(X<μ)＝ .(　　) 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU × × √ √ 2 题型探究 PART TWO 一、正态曲线 例1　(1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝ ，方差σ2＝ . 20 2 (2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是 A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同 解析　由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等， 由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”， σ越小，正态曲线越“瘦高”， 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. √ √ √ 反思感悟 利用正态曲线的特点求参数μ，σ (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ. (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值　　 ，由此特点结合图象可求出σ. 跟踪训练1　(多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有 A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B.当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D.曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 √ √ √ 解析　只