第七章 7.3.1 离散型随机变量的均值课件-2023-2024学年高二数学人教A版2019选择性必修第三册

7.3.1　离散型随机变量的均值 第七章　§7.3　离散型随机变量的数字特征 1 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机 变量的均值. 2.理解离散型随机变量均值的性质. 3.掌握两点分布的均值. 4.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 1.离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 知识点一　离散型随机变量的均值 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝ ＝ 为随机变量X的均值或 数学期望. x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 2.离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的 ，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的 . 3.离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝ . 加权平均数 平均水平 aE(X)＋b 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量.因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 思考　离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？ 答案　(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化. (2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值. 知识点二　两点分布的均值 如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 1.随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化.(　　) 2.随机变量的均值反映了样本的平均水平.(　　) 3.若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　　) 4.若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P(X＝1).(　　) 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU × √ √ × 2 题型探究 PART TWO 一、利用定义求离散型随机变量的均值 例1　袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值. 解　取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分， 因此，X的可能取值为5,6,7,8， 故X的分布列为 反思感悟 求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值. (2)求出X取每个值的概率P(X＝k). (3)写出X的分布列. (4)利用均值的定义求E(X). 跟踪训练1　某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为 ，且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值. 解　根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”， 则X的可能取值为－4,1,3,6. ∴X的分布列为 二、离散型随机变量均值的性质 例2　已知随机变量X的分布列为   若Y＝－2X，则E(Y)＝____. 解析　由随机变量分布列的性质，得 由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)， 所以a＝15. 反思感悟 求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值方法 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值. (2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可. 跟踪训练2　已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为 √ 解析　因为η＝12ξ＋7， 则E(η)＝12E(ξ)＋7， 三、均值的实际应用 例3　随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的