6.1 两个计数原理的综合应用（第2课时）-2023-2024学年高二数学人教A版2019选择性必修第三册课件

第六章　§6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时　两个计数原理的综合应用 1 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别. 2.会正确应用这两个计数原理计数. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点一　两个计数原理的区别与联系   分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点 针对的是“分类”问题 不同点 各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点： 一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步. (1)分类要做到“ ”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理 ，得到总数. (2)分步要做到“ ”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数 ，得到总数. 知识点二　两个计数原理的应用 不重不漏 求和 步骤完整 相乘 思考　分类“不重不漏”的含义是什么？ 答案　“不重”即各类之间没有交叉点，“不漏”即各类的并集是全集. 预习小测 自我检验 YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN 1.一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法___种，若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法____种. 9 解析　根据分类加法计数原理，从中任选1名同学参加学科竞赛，共有5＋4＝9(种)选派方法. 根据分步乘法计数原理，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，共有4×5＝20(种)选派方法. 20 2.有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是____. 81 解析　每个信号显示窗都有3种可能，故有3×3×3×3＝34＝81(种)不同信号. 4.多项式(a1＋a2＋a3)(b1＋b2)＋(a4＋a5)(b3＋b4)展开式共有____项. 10 3.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有____种行车路线. 12 解析　起点为4种可能性，终点为3种可能性，则行车路线共有4×3＝12(种). 解析　共有3×2＋2×2＝10(项). 2 题型探究 PART TWO 一、组数问题 解　三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个). 例1　用0,1,2,3,4五个数字. (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ 解　三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个). (2)可以排成多少个三位数？ 解　被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法； 一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法. 因而有12＋18＝30(种)排法. 即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数. (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 延伸探究 由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？ 解　完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法； 第二步定首位，从1,2,3,4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方法； 第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法. 由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36(个). 反思感悟 对于组数问题，应掌握以下原则 (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解. (2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位. 跟踪训练1　用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2 000大的四位偶数？ 解　完成这件事可分为三类： 第一类是个位数字为0的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成： 第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法； 第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还