分段数列与奇偶项问题专项训练-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

处理奇偶项数列的四大类型 类型1.相邻项和（积）为等差（等比）数列 类型2.邻项等差（等比） 类型3.摆动数列 类型4.含三角式的数列 ★类型1.相邻项和（积）为等差（等比）数列 1.在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即，它可以得到两个子数列分别是公差为的等差数列. 若,则当时,,两式相减得 ,即数列与数列均是公差为的等差数列. 2.在等比数列中，有一类比较特殊的递推类型，即，它可以得到两个子数列分别是公差为的等比数列. 若,则,两式相除得,即数列与数列均是公比为的等比数列. 3.通项公式： （1）若，则 （2），则 4.前n项和 方法1.由3解得通项后并项求和（具体见案例） 方法2.对于隔项等差的前n项和，可直接由相邻两项的关系解得，即由 若为偶数： 若为奇数： 例 1 已知数列满足, 求数列的通项公式. 例2．已知数列的前n项和为，且，，则使得成立的n的最小值为（    ） A．32 B．33 C．44 D．45 例3．若数列的前项和为，且满足，，则（    ） A．61 B．253 C．1021 D．4092 ★类型2.奇偶分段数列 类型1.，由于数列通项均已知，求和时只需分奇偶求和即可. 类型2.，由于数列通项在奇数时为递推关系，所以需要先利用递推关系求得奇数时每项的特征，在求和时往往需将奇数项的计算转化为已知通项的偶数项进行. 类型3. 这一类问题需要先求出各段的通项，再分段求和，由于涉及奇偶讨论，所以去构造隔项之间的递推关系从而求得具体通项形式. 例4．设数列满足：是的等比中项. （1）求的值； （2）求数列的前20项的和. 例5．已知等差数列中，，，数列的前n项和为，且，． （1）求数列，的通项公式． （2），为的前n项和，若恒成立，求λ的最大值． 例6．已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式; （2）若，求数列的前项和． 例7．设数列的前n项和为，已知． （1）求的通项公式； （2）设且，求数列的前n项和为． ★类型3.含有型摆动数列 例8．已知数列满足：.则的前60项的和为（    ） A．1240 B．1830 C．2520 D．2760 例9．设等比数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. ★类型4.含三角的通项 例10.设数列满足, , 则数列 的前20项的和_________. 三．习题演练 1．已知数列满足是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 2．已知是数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 3．在数列中，已知且，则其前项和的值为（    ） A． B． C． D． 4. （2021年新高考1卷）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 5.（2023年新高考2卷）2 为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 处理奇偶项数列的四大类型 类型1.相邻项和（积）为等差（等比）数列 类型2.邻项等差（等比） 类型3.摆动数列 类型4.含三角式的数列 ★类型1.相邻项和（积）为等差（等比）数列 1.在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即，它可以得到两个子数列分别是公差为的等差数列. 若,则当时,,两式相减得 ,即数列与数列均是公差为的等差数列. 2.在等比数列中，有一类比较特殊的递推类型，即，它可以得到两个子数列分别是公差为的等比数列. 若,则,两式相除得,即数列与数列均是公比为的等比数列. 3.通项公式： （1）若，则 （2），则 4.前n项和 方法1.由3解得通项后并项求和（具体见案例） 方法2.对于隔项等差的前n项和，可直接由相邻两项的关系解得，即由 若为偶数： 若为奇数： 例 1 已知数列满足, 求数列的通项公式. 解析: 由题意可得，，两式相减可得 . 所以,数列的奇数项和偶数项分别构成公差为4的等差数列, 且.当为奇数时,;当为偶数时,. 因此,. 例2．已知数列的前n项和为，且，，则使得成立的n的最小值为（    ） A．32 B．33 C．44 D．45 解析：①，当时，②，两式相减得， 当为奇数时，为等差数列，首项为4，公差为4，所以， 中，令得，故. 故当为偶数时，为等差数列，首项为2，公差为4，所以，所以当为奇数时，， 当为偶数时，， 当为奇数时，令，解得，当为偶数时，令，解得， 所以成立的n的最小值为.故选：D 例3．若数列的前项和为，且满足，，则（    ） A．61 B．253 C．1021 D．