第12章 全等三角形—— 一线三垂直模型-分类练习 2023—2024学年人教版数学八年级上册

等腰直角三角形构造三垂直模型 一．经典题型 1. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B．C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足分别为D、E，若BD=4，CE=2，则DE=___． 2. 如图，直线经过正方形的顶点，已知于点，于点．若，，则线段的长为______． 3. 如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则的面积为_____cm2． 4. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，过点C作CD⊥AC，且CD=AC，连接BD，若S△BCD=4.5，则BC的长为______________ 5. 如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm，则BE的长是_____cm . 二、解答题 6. 在中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E． （1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明． 7. 已知：在中，∠BAC=90°，AB＝CA，直线m经过点A，BD⊥直线m于点D，CE⊥直线m于点E．求证：； 8. 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N． （1）求证：MN＝AM＋BN； （2）如图2，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N（AM＞BN），（1）中的结论是否仍然成立？说明理由． 9. 在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）如图1所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由； （2）如图2所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由． 10. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l，BE⊥l于点E，AD⊥l于点D．若BE=2，AD=6，求DE的长． 二．灵活应用 1. 如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AD与BE为△ABC的高，交点为F，CD=4，则线DF=___________． 2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为__________． 3. 如图所示，在和中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB=DE． （1）求证：BC=BD； （2）若BD=10厘米，求AC的长． 4. 如图，在中，，，点是内部一点，且，证明：． 坐标系中的一线三垂直 1. 如图，把放置在平面直角坐标系中，已知，，，，点在第四象限，则点的坐标是______． 2. 如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） 3. 如图，已知B(4，0)，C(0，2)，AC⊥BC，且AC=BC，求点A的坐标． 4. 如图，在Rt△ABC中，BC =AC，∠ACB =90°，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上 (1) 如图1，若AD垂直于x轴，垂足为点D，点A的坐标是(-3,1)，求点B的坐标 (2) 如图2，直角边BC在两坐标轴上滑动过A作AD⊥y轴于D.请猜想OB、OC、AD之间有怎样的关系，并证明你的猜想 5. 等腰Rt△ABC中，<ACB=90°，CA=CB，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上． (1）如图1，求证：∠BCO=∠CAO; (2）如图2，若OA=5，OC=2，求B点的坐标； (3）如图3，点C(0，3)，Q、A两点均在轴上，且S△COA=18．分别以AC，CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围． 6. △ABC是等腰直角三角形，BC =AC，直角顶点C在x轴上，一角顶点B在y轴上. (1) 如图①若AD⊥x轴，垂足为点D.点C坐标是(-1,0)，点B的坐标是(0,2)，求A点的坐标 (2) 如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，求证:BD=2AE (3)如图③，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥Y轴于F，在滑动的过程中，两个结论:①为定值；②为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论并求出定值 7. △ABC