2024年中考数学二轮总复习课件 专题四 路径最值问题

模块一 选择填空题 专题四 路径最值问题 路径最值问题除了考查垂线段最短之外，主要围绕几个基本模型展开考查，常见模型有： 专题指导 (1)两点在直线异侧 如图，点A，B在直线l异侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的和最小． (2)两点在直线同侧(将军饮马) 如图，点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的和最小． (3)点圆最值问题 如图，点P是圆外一点，点P和圆上所有点连接的线段中，PA最长，PB最短． (4)线段差的最值问题 如图，点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|最大． 一、垂线段最短 1．如图，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘火车距离最近，铁路局已经在路边选好了一点来建火车站．这其中的数学原理是 　垂线段最短　 ⁠． 垂线段最短　 专题冲关 2．(2023雅安)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为  　3　 ⁠． 3　 二、两点在直线异侧 3．如图所示，直线MN表示一条公路，公路两旁有A，B两个村庄，要在公路上建一个加油站P，使它到两个村庄的距离之和最短，这个加油站应建在AB与MN的交点处，这种做法用几何知识解释是 　两点之间，线段最短　 ⁠. 两点之间，线 段最短　 4．(原创)如图，已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象经过点A(－1，0)，B(1，－4)． (1)求该一次函数的表达式； 解：(1)∵一次函数的图象经过点A，B， ∴解得 ∴该一次函数的表达式为y＝－2x－2. (2)在y轴上找一点C，使得AC＋BC的和最小，求出点C的坐标． (2)AB与y轴的交点即为点C，根据两点之间，线段最短可知，此时AC＋BC的和最小． 当x＝0时，y＝－2x－2＝－2. ∴点C的坐标为(0，－2)． 三、将军饮马问题 5．(2021西宁)如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，点N是AB的中点，AD是BC边上的中线，点M是AD上的一个动点，连接BM，MN，则BM＋MN的最小值是  　3　 ⁠． 3　 6．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是 　15　 ⁠． 15　 7．(2022德州)如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2，点M是对角线BD上的一个动点，则EM＋CM的最小值是（　C　） A．6 B．3 C．2 D．4 C 8．(2022眉山)如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE＋PB的最小值为 　6　 ⁠． 6　 四、点圆最值问题 9．(2023东莞一模)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为  　－1　 ⁠． －1　 10．(2020广东)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时捕捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，点E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为  　2－2　 ⁠． 2－2　 11．(2020西藏)如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，点P为BC边上的任意一点，把△PBE沿PE折叠，得到△PFE，连接CF.若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为 　8　 ⁠． 8　 12．(2023东莞一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作⊙O，连接BD交⊙O于点E，则AE的最小值为  　2－2　 ⁠． 2－2　 五、三角形三边之间的关系 13．(2023徐州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为  　3－3　 ⁠． 3－3　 14．(2022东莞一模)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是边长为16的正三角形，点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则线段OC的长的最大值是  　8＋8　 ⁠． 8＋ 8　 $$