6.2 数学建模——从自然走向理性之路 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第6章 数学建模 6.2 数学建模——从自然走向理性之路 1 #b# 经历从实际问题建立数学模型、运算求解、验证模型、改进模型的全过程，掌握建模 方法.（数学建模） 学习目标 2 决定苹果的最佳出售时间点. 1.问题描述 市场上某一种蔬菜、水果等价格会随着季节呈现周期性变化，比如苹果，刚上市 时价格比较高，随着大量上市，价格越来越低，这时若利用一定的技术手段将苹果进 行保鲜存储，等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售，则同样多的苹果就可以 获得相对较高的销售收入.不过，需要注意的是，保鲜存储是有成本的，而且成本会随 着时间的延长而增大. 合作探究 3 2.模型假设 经济学家：为什么会发生这种“囤积居奇”的现象？什么情况下不会发生这种现象？ 生物学家：能够利用哪些技术手段进行保鲜存储？哪种保鲜存储的成本最低？ 消费者：什么时候是买苹果的最佳时间？ 营销者：什么时候是卖苹果的最佳时间？ （1）明确问题 苹果的最佳售出时间点就是获得最大收益的时间点. 合作探究 4 （2）必要假设，简化问题 ①除储存成本外，无其他成本； ②苹果数量是个定值；（如：果园产量为定值） ③苹果都能售出. 合作探究 5 （3）分析变量间的关系 ①收益 价格-成本； ②价格与市场上苹果数量的关系； ③市场上苹果数量与时间的关系； ④成本即储存成本与时间的关系. 因为时间会影响储存成本和市面上苹果的数量，而苹果数量又影响了苹果的价格， 所以最终是时间决定了收益. 合作探究 6 3.模型建立 设保鲜存储时间为，市面上苹果的数量为万吨，苹果的单价为 元，单位数量苹 果的储存成本为，单位数量苹果的收益为 . （1） ； （2）是一个减函数，可设为一次函数 ; （3）可设为二次函数 ； （4）是一个增函数，可设为一次函数 . 综上，我们可以建立一个关于 的函数 . 合作探究 7 4.模型求解 确定参数、计算求解 （1）收集数据 万吨 8.4 7.6 元 0.8 1.2 天 1 2 元 0.11 0.12 天 1 2 3 万吨 9.462 9.328 9.198 合作探究 8 （2）代入确定参数 利用待定系数法，根据前面的假设就可以列出如下方程组： 计算出参数，，，，，， . 合作探究 9 （3）确定函数模型 确定函数， ， ， 因此，我们可以得到收益关于时间的函数 . （4）计算求解 ，当时， 取得最大值，最大值为1， 也就是说，在上述情况下，当保鲜储存30天时，单位数量苹果所获得的利润最大， 最大利润为1元. 合作探究 10 5.模型的分析与检验 （1）还原到实际问题上，结果有偏差 （2）原因分析 ①简化问题，减少了变量； ②因为数据与所学有限，函数模型过于简单，所以可从以上两点改进模型. 合作探究 11 6.推广应用 （1）数学建模的概念 数学建模就是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、数学方法构建模型 解决问题.数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分 析问题、建立模型、确定参数、计算求解、验证结果、改进模型，最终解决实际问题. 合作探究 12 （2）数学建模与应用题的异同 数学建模与我们以往做的应用题都是用数学方法解决实际问题，但是应用题的数 量关系是确定的，答案当然也是确定的，相比应用题，数学建模有以下几个特点： ①问题是自己发现和提出的； ②数量关系是自己分析出来的； ③数据是自己收集的； ④函数关系或者说数学模型是自己建立的. 合作探究 13 （3）用框图表示数学建模的基本过程 合作探究 14 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资 1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.该家庭有20万元资金全部用于理财投资，怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？ 合作探究 15 [解析] 设两类产品的收益与投资的函数分别为， . 由已知得，，所以， . 设投资债券类产品为万元，则投资股票类产品为 万元， 依题意得 ， 令，则 ， 所以当，即 时，收益最大，故当投资债券16万元，投资股票4万元时，获 得最大收益，最大收益为3万元. 合作探究 16 $$