7.4.1 二项分布 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第7章 随机变量及其分布 7.4.1　二项分布 1 1.伯努利试验的概念 　　把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 2.n重伯努利试验 (1)定义:将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)特征:①同一个伯努利试验重复做n次;②各次试验的结果相互独立. 第7.4　二项分布与超几何分布 1 | 伯努利试验 知识点 必备知识 清单破 7.4.1　二项分布 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 1.二项分布的概念 　　一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A 发生的次数,则X的分布列为P(X=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上 式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p). 注意:两点分布是一种特殊的二项分布,即n=1时的二项分布. 2.二项分布的均值与方差 若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p). 2 | 二项分布 知识点 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 知识辨析 1.在n重伯努利试验中,各次试验结果之间互相影响吗? 2.在n重伯努利试验中,各次试验中事件发生的概率可以不同吗? 3.如何判断一个随机变量是否服从二项分布? 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 一语破的 1.不影响.各次试验的结果相互独立. 2.不可以.在n重伯努利试验中,各次试验中事件发生的概率必须相同. 3.①对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;②重复性,即试验是否独立重复地进 行了n次. 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 | 二项分布的应用 定点 关键能力 定点破 利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤 (1)根据题意设出随机变量; (2)分析随机变量是否服从二项分布; (3)若服从二项分布,则求出参数n和p的值; (4)根据需要列出相关式子并解决问题. 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 典例1 为降低汽车尾气的排放量,某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器,分别从甲、乙两 种不同型号的节排器中各抽取100件进行性能质量评估检测,综合得分情况的频率分布直方 图如图所示.   第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 节排器等级及利润率如表所示,其中 <a< . 综合得分k的范围 节排器等级 节排器利润率 k≥85 一级品 a 75≤k<85 二级品 5a2 70≤k<75 三级品 a2 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 视频率分布直方图中的频率为概率,用样本估计总体. (1)若从这100件甲型号节排器中,按节排器等级用分层随机抽样的方法抽取10件,再从这10件 节排器中随机抽取3件,求至少有2件一级品的概率; (2)①若从乙型号节排器中随机抽取3件,求其中二级品的件数X的分布列及数学期望E(X); ②从长期来看,投资哪种型号节排器的平均利润率较大? 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 解析    (1)由已知及题中频率分布直方图中的信息知,甲型号节排器中的一级品的频率为 , 二级品的频率为 , 用分层随机抽样的方法抽取10件,则抽取一级品的件数为10× =6. 故从这10件节排器中随机抽取3件,至少有2件一级品的概率P= = . (2)①由已知及题中频率分布直方图中的信息知,乙型号节排器中的一级品的频率为 ,二级 品的频率为 ,三级品的频率为 . 若从乙型号节排器中随机抽取3件,则其中二级品的件数X~B , 所以P(X=0)= × × = , 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 P(X=1)= × × = , P(X=2)= × × = , P(X=3)= × × = . 可得X的分布列如表所示. X 0 1 2 3 P         第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 E(X)=0× +1× +2× +3× = . ②由题意知,投资甲型号节排器的平均利润率E1= a+ ×5a2=2a2+ a, 投资乙型号节排器的平均利润率E2= a+ ×5a2+ a2= a2+ a, E1-E2= a2- a= a , 又 <a< ,所以E1<E2, 所以从长期来看,投资乙型号节排器的平均利润率较大. 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 典例2 为了引导居民合理用水,某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅(一套住 宅为一户)的月用水量为基准定价,具体划分标准如表所示. 阶梯级别 第一 阶梯 第二 阶梯 第三 阶梯 月用水量范围 (单位:立方米