2024年中考数学复习 几何模型演练---中点的构造

2024年中考数学几何模型演练-中点的构造 知识导航 1. 倍长中线 当出现中点条件时,可将中线延长一倍,即倍长中线. 作图分析: 如图 1,在 ABC 中,AD 是中线. 延长 AD 至 点 E 使得 DE = AD,则 ADC≌ EDB. 线段关系:AC=BE,AC∥BE. 如图 2,在 ABC 中,E 是边 AB 上一点,D 是 BC 的中点,连接 DE.延长 ED 至点F 使得 DF=DE,则 BDE≌ CDF. 线段关系:BE=FC,BE∥FC. 解读:倍长中线后可得一组旋转型全等,转化为两条线段平行且相等.即转移了线段位置,探究几何图中线段间的数量关系,一般要先有位置关系. 引例1 (2020 德州改编)问题探究: 小红遇到这样一个问题:如图 1, ABC中,AB=6,AC=4,AD 是中线,求 AD 的取值范围.她的解法是:延长AD 到E,使 DE=AD,连接 BE,证明 BED≌ CAD,经过推理和计算使问题得到解决. (1)小红证明 BED≌ CAD 的判定定理是 ; (2)AD的取值范围是 ; (3)如图 2,AD 是 ABC 的中线,在 AD上取一点F,连接 BF 并延长交AC 于点 E,使AE=EF. 求证:BF=AC. 解析(1)SAS; (2)1<AD<5; (3)如图,延长 AD 至点 M 使得 DM=DF,连接CM. 在 BDF 和 CDM 中, ∴ BDF≌ CDM(SAS), ∴BF=CM,∠BFD=∠M, ∵AE=EF,∴∠EFA=∠EAF, ∴∠BFD=∠EFA=∠EAF, ∴∠M=∠EAF,∴CM=CA. 又CM=BF,∴BF=AC. 2.斜边中线 定理:直角三角形斜边中线等于斜边一半. 如图 1,M 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点,则 如图 2,M 是 AB 的 中 点, 则 MA =MB=MC=MD,A、B、C、D 四点共圆. 引例2(2023 凉山州)如图,边长为2 的等边三角形 ABC 的两个顶点A、B 分别在两条射线OM、ON 上滑动,若 OM⊥ON,则 OC 的最大值是 . 解析 取 AB 的中点 P,连接 OP、PC,则 ,当O、P、C 共线时,OC 取到 最大值 3.中位线 (1)中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. 如图 1,在 ABC 中,E、F 分别是边AB、AC 的中点.则 (2)中位线构造 如图2,在 ABC 中,E 是边AB 的中点. 构造:取 AC 的 中 点 F, 连 接 EF.则 如图3,在 ABC 中,B 是AE 的中点,C是 AF 的中点. 构造:连接EF.则 如图4,在 ABC中,B 是AE 的中点. 构造:延长 AC 至点F 使得CF=AC,连接 EF.则 引例3 (2022 广州)如图,正方形 ABCD的面积为 3,点 E 在边 CD 上,且 CE = 1,∠ABE 的平分线交AD 于点 F,M、N 分别是BE、BF 的中点,则 MN 的长为 ( ) 解析 ∵正方形的面积是 3,. 、 ∵BF 平分∠ABE,∴∠ABF=∠EBF=30 ,∴AF=1,∴DE=DF= -1,连接 EF,则 ∵M、N分别是BE、BF的中点, 引例4(2022 安顺)如图,在 ABC 中, D 是边AB 的中点,E 是边 BC 上一点,若 DE 平分 ABC 的周长,则 DE 的长为 ( ) D. 解析 延长 BC 至点 F 使得CF=CA.∵DE平分 ABC 的周长,且 D 是边 AB 的中点,∴E 是 BF 的中点,∴DE∥AF.∵∠ACB=120 ,∴∠ACF=60 ,且 CF=CA,∴ ACF是等边三角形,. 4. 中点四边形 已知:如图,E、F、G、H 分别是四边形ABCD 中边AB、BC、CD、DA 的中点. 结论:四边形 EFGH 是平行四边形,且 BCD 特别地,若 AC = BD,则平行四边形EFGH是菱形; 若 AC⊥BD,则平行四边形 EFGH 是矩形. 引例5(2017 江西)如图,任意四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分 别 是 AB、BC、CD、DA 上的点,对于四边形EFGH 的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是 ( ) A.当 E、F、G、H 是各边中点,且AC=BD时,四边形 EFGH 为菱形 B. 当 E、F、G、H 是各边中点,且 AC⊥BD 时,四边形 EFGH 为矩形 C. 当 E、F、G、H 不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形 D. 当 E、F、G、H 不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形 解析 选 D. 5. 反相似手拉手 如图,在正方形 ABCD 和正方形CEFG中,连接AF,取 AF 的中点M. (1)若连接 ME、MD,