2024年中考数学几何模型演练---勾股定理弦图的构造

2024年中考数学几何模型演练---勾股定理弦图的构造 知识导航 1. 模型认识 如图, 有 △AED ≌△BFA≌△CGB≌△DHC. 稍作变形,若 DE⊥AF,则可得:△DAE≌△ABF. 一般地,在正方形 ABCD 中,若 MN⊥PQ,则有 MN=PQ. 思路 1:分别将 PQ、MN 平移至 AF、DE位置(作平行线),证明 AF=DE 即可. 思路 2:过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,过点N 作 NF⊥AB 交 AB 于点 F,可证△PEQ≌△NFM. 反之，若已知 PQ=MN，但不一定存在PQ⊥MN. 如下图,EF=PQ=MN,但 EF 不与MN垂直. 由位置关系可推数量关系，但由数量关系未必可推位置关系. 引例1 如图，已知正方形ABCD 的边长为5,点 E、F 分别在 AD、DC 上,AE=DF=2,BE 与 AF 相交于点G,点 H 为BF 的中点,连接GH,则 GH 的长为 . 解析 ∵AE = DF,∴△BAE≌△ADF,∴∠ABE=∠DAF. ∵∠DAF +∠BAG= 90°,∴∠ABE +∠BAG=90°, ∴∠AGB=90°.∵DF=2,∴CF=3, 引例2 (2022 · 贵 阳) 如 图, 在 正 方 形ABCD 中,E 为AD 上一点,连接BE,BE 的垂直平分线交AB 于点M，交 CD 于点 N，垂足为O,点 F 在 DC 上,且MF∥AD. (1)求证:△ABE≌△FMN; (2)若 AB=8,AE=6,求 ON 的长. 解 析 (1)∵MF ∥AD,∴ MF ⊥ AB,∴∠FMN + ∠BMO = 90°, 又 ∠ABE +∠BMO=90°,∴∠FMN =∠ABE.∵MF∥AD,AM∥DF,∴四边形 AMFD 是平行四边形,∴MF=AD=AB.△ABE≌△FMN(ASA). (2)∵AB=8,AE=6,∴BE=10.∵△ABE≌△FMN,∴MN=BE=10.∵∠BOM=∠BAE,∠OBM = ∠ABE, ∴ △BOM ∽ △BAE, ,即 ON 的长为 2.模型变式 (1)弦图与对称：对称点连线被对称轴垂直且平分. 沿 MN 折叠,则. 且AA'⊥MN. (2)弦图与四点共圆:C、D、H、F 四点共圆. 连接 DF,取 DF 的中点 N,以点 N 为圆心、DN 的长为半径作圆,C、D、H、F 四点共圆. 特别地,若E、F 分别是AB、BC 的中点,连接CH,则CH=CD. 证明:∵∠CHD=∠CFD=∠AED =∠CDE,∴CH=CD. (3)矩形中的弦图构造： 在矩形 ABCD 中,E、F 分别是AB、BC上的点,且AF⊥DE,则 证 明: 由 题 意 得:△ABF ∽△DAE, 引例3(2023· 扬州)如图，已知正方形ABCD 的边长为1,点 E、F 分别在边 AD、BC上，将正方形沿着 EF 翻折，点 B 恰好落在边CD 上的点 B'处,如果四边形 ABFE 与四边形EFCD 的面积比为 3: 5,那么线段 FC 的长为 解析 如图,连接 BB',则 BB'⊥EF,过点 F作 FH ⊥AD 交 AD 于点 H, 则△BCB'≌△FHE.设 CF=x,则 BF=1-x.∵四边形ABFE 与四边形 EFCD 的面积比为 3:5,∴四边形 ABFE 的面积是 ,即 代入得, 由题意得( 代入得 解得 的长为 . 真题演练 1.(2021·绵阳)如图,在边长为 3 的正方形ABCD 中,∠CDE=30°,DE⊥CF,则 BF的长是 ( ) A.1 B. C. D.2 2.(2022·山西)如图,在正方形 ABCD 中,点E 是边 BC 上的一点,点 F 在边 CD 的延长线上,且 BE=DF,连接 EF 交边 AD 于点G.过点 A 作 AN⊥EF,垂足为点 M,交边CD 于点 N.若 BE=5,CN=8,则线段 AN的长为 . 3.(2021·黔西南)如图,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是AB、BC 的中点,CE、DF 交于点 G,连 接 AG.下 列 结论:①CE = DF;②CE⊥DF;③∠AGE=∠CDF.其中正确的结论是 ( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 4.(2023·绥化)如图,在正方形 ABCD 中,E为边 CD 的中点,连接 AE,过点 B 作 BF⊥AE 于点F,连接 BD 交 AE 于点G,FH 平分∠BFG 交 BD 于点 H.则下列结论中,正确的个数为