8.2 一元线性回归模型及其应用 课件+练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第8章 成对数据的统计分析 8.2　一元线性回归模型及其应用 YOUR LOGO 1 　　把式子 称为Y关于x的一元线性回归模型.其中,Y称为因变量或响应变 量,x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与 bx+a之间的随机误差.如果e=0,那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 8.2　一元线性回归模型及其应用 1 | 一元线性回归模型 知识点 必备知识 清单破 第1讲　描述运动的基本概念 第八章　成对数据的统计分析 　　设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(xi,yi)(i=1,2,…,n),通常用各散点 到直线y=bx+a的竖直距离的平方之和Q= 来刻画各样本观测数据与该直线的 “整体接近程度”. 当a,b的取值为 时,Q达到最小. 将 = x+ 称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验 回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的 , 叫做b,a的最小二乘估计. 2 | 经验回归方程与最小二乘法 知识点 第1讲　描述运动的基本概念 第八章　成对数据的统计分析 1.残差的概念 对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的 称为预测值,观 测值减去预测值称为残差. 2.残差分析 通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据 等,这方面工作称为残差分析. 3.判断模型拟合效果的方式 (1)利用残差图:若残差比较均匀地分布在水平带状区域内,则说明选用的模型比较合适,带状 区域的宽度越窄,说明模型的拟合效果越好. 3 | 残差 知识点 第1讲　描述运动的基本概念 第八章　成对数据的统计分析 (2)利用决定系数R2:R2=1- .R2越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好;R2 越小,表示残差平方和越大,即模型的拟合效果越差. 第1讲　描述运动的基本概念 第八章　成对数据的统计分析 知识辨析 1.对于散点图中的点没有均匀分布在某条直线附近或毫无规则可言的两个变量,用最小二乘 法可以求对应的经验回归方程吗? 2.经验回归直线一定过成对样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的某一点吗? 3.利用经验回归方程求出的函数值是准确的吗? 4.y的观测值与预测值之间的误差记为e,称之为随机误差,它是由计算产生的误差吗? 第1讲　描述运动的基本概念 第八章　成对数据的统计分析 一语破的 1.可以.已知两个变量的成对样本数据,利用公式都可以求出对应的经验回归方程,只是样本 相关系数的绝对值大小不同而已. 2.不一定.经验回归直线必过样本点的中心( , ). 3.不一定.它只是一个预测值. 4.不一定.随机误差产生的原因有很多.如:用线性回归模型作为真实模型的近似所引起的误 差,忽略了某些因素的影响,观测误差等. 第1讲　描述运动的基本概念 第八章　成对数据的统计分析 1.求经验回归方程中系数的方法 (1)公式法:利用公式,求出 , . (2)待定系数法:利用经验回归直线过样本点的中心( , )求系数. 2.经验回归方程的应用 (1)利用经验回归方程进行预测:把经验回归方程看作一次函数,求函数值. (2)利用经验回归方程判断正、负相关:决定正相关还是负相关的是 的正、负. 1 | 经验回归方程的求解与应用 定点 关键能力 定点破 第1讲　描述运动的基本概念 第八章　成对数据的统计分析 典例 某公司想了解某产品投入的宣传费用对该产品的营业额的影响.下图是以往该公司对 该产品的宣传费用x(单位:万元)和产品营业额y(单位:万元)的折线统计图.   (1)根据折线图判断,可用一元线性回归模型拟合产品营业额y与宣传费用x之间的关系,请用 样本相关系数加以说明;(结果保留两位小数) 第1讲　描述运动的基本概念 第八章　成对数据的统计分析 (2)建立产品营业额y关于宣传费用x的经验回归方程;(相关计算结果保留两位小数) (3)若某段时间内产品利润z(单位:万元)与宣传费用x及营业额y的关系为z=x(y-1.01x-0.09)+5 0,应投入宣传费用多少万元才能使利润最大?并求出最大利润. 参考数据: yi=37.28, xiyi=160.68, =2.2, ≈2.65. 参考公式:样本相关系数r=   = ,经验回归方程 = x+ 中,斜率和截距的最小二乘估计分别为 = 第1讲　描述运动的基本概念 第八章　成对数据的统计分析  = , = -  . 解析    (1)由题图中数据和参考数据得 =4, = = ≈5.33,  (xi- )2=28. 样本相关系数r= ≈ ≈0.98. 因为y与x的样本相关系数近似为0.98,说明y