7.5正态分布第1课时课件+练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第7章 随机变量及其分布 7.5　正态分布 1 　　随机变量的取值充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量 为连续型随机变量. 7.5　正态分布 1 | 连续型随机变量 知识点 必备知识 清单破 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 1.正态曲线的定义 一般地,称函数f(x)=  ,x∈R为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态 曲线.其中μ∈R,σ>0为参数. 2.正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称; (3)曲线在x=μ处达到峰值 ; (4)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴; (5)对任意的σ>0,正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1; 2 | 正态曲线 知识点 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 (6)在参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图甲所示; (7)当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,当σ较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”,表示随机变 量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,正态曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散, 如图乙所示.   第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 1.正态分布的定义 　　若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(也称为高斯分 布),记为X~N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布. 2.正态分布的图形表示 若X~N(μ,σ2),则如图所示,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为 图中区域B的面积. 3 | 正态分布 知识点 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 1.正态变量在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7; P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5; P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 2.3σ原则 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统 计学中称为3σ原则. 4 |  3σ原则 知识点 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 知识辨析 1.若随机变量X~N(μ,σ2),则X可以是离散型随机变量吗? 2.正态密度函数中的参数μ,σ的意义分别是什么? 3.正态曲线是单峰函数,其与x轴围成的区域的面积会随参数μ,σ的变化而变化吗? 4.对于给定的正态密度函数,其图象的对称轴及形状是确定的吗? 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 一语破的 1.不可以.服从正态分布的随机变量X是连续型随机变量. 2.参数μ,σ表示的分别是样本的均值和标准差. 3.不会.正态曲线与x轴围成的区域的面积总为1,不会随参数μ,σ的变化而变化. 4.是.由正态密度函数的解析式可知,正态密度函数的图象的对称轴的位置由μ确定,图象的形 状由σ确定. 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 1 | 正态分布的概率问题 定点 关键能力 定点破 在正态分布下求概率的关键在于充分恰当地利用正态曲线的对称性,把待求概率的区间转化 为已知概率的区间.当条件中无已知概率时,则要将区间转化为三个特殊区间:[μ-σ,μ+σ],[μ-2 σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ].利用随机变量X在这三个特殊区间取值的概率进行计算. 一般地,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则 (1)P(X≥a)=1-P(X<a); (2)对任意的实数a,有P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a); (3)P(a≤X≤b)=P(X≤b)-P(X<a). 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 典例 (1)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0<X<2)= (　    ) A.0.6　    B.0.4　    C.0.3　    D.0.2 (2)在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,4),则X在(-1,1)内取值的概率约为　　 　    . (若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7) C 0.341 35 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 解析    (1)∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2), ∴μ=2,即正态曲线的对称轴是直线x=2. ∵P(X<4)=0.8, ∴P(X≥4)=P(X≤0)=0.2, ∴P(0<X<4)=0.6. ∴P(0<X<2)= P(0<X<4)=0.3. (2)由题意得μ=1,σ=2,∴P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈0.68