7.3离散型随机变量的数字特征课件+练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第7章 随机变量及其分布 7.3　离散型随机变量的数字特征 1 1.定义 一般地,若离散型随机变量X的分布列如表所示. 7.3　离散型随机变量的数字特征 1 | 离散型随机变量的均值 知识点 必备知识 清单破 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 　　则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn= xipi为随机变量X的均值或数学期望(简称期望),它反映了 随机变量取值的平均水平. 2.性质 　　若X是一个离散型随机变量,则有E(aX+b)=aE(X)+b. 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 1.定义 设离散型随机变量X的分布列如表所示. 2 | 离散型随机变量的方差 知识点 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 　　则称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn= (xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,并 称 为随机变量X的标准差,记为σ(X). 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取 值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取 值越分散. 2.性质 (1)设a,b为常数,则D(aX+b)=a2D(X). (2)D(X)=E(X2)-(E(X))2,简记为“方差等于平方的均值减去均值的平方”. 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 知识辨析 1.随机变量X的均值E(X)是否随样本的改变而改变?方差D(X)呢? 2.离散型随机变量的方差越大,随机变量的取值越稳定吗? 3.离散型随机变量X乘上一个常数a,其均值会发生改变吗?方差呢? 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 一语破的 1.随机变量X的均值E(X)(方差D(X))是一个确定的数,不随样本的改变而改变,而样本的均值 (方差)具有随机性,会随样本的改变而改变. 2.不是.离散型随机变量的方差越小,随机变量的取值越稳定. 3.均会发生改变.离散型随机变量X乘上一个常数a,其均值变为原来的a倍,方差变为原来的a2 倍,即E(aX)=aE(X),D(aX)=a2D(X). 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 1 | 离散型随机变量的均值、方差(标准差) 定点 关键能力 定点破 1.求离散型随机变量X的均值、方差(标准差)的一般步骤 (1)理解X的意义,并写出X的可能取值; (2)求出X取每个值时的概率; (3)利用定义求E(X),D(X)( ). 在随机变量X2的均值比较好计算的情况下,运用关系式D(X)=E(X2)-(E(X))2求方差. 2.已知随机变量X的均值、方差或其均值、方差易求,求Y=aX+b(a≠0)的均值、方差时,可用 均值、方差的性质求解. 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 典例 某周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛,李梦与他们三人各进行一场比 赛,共进行三场比赛,每场比赛都没有平局,且三场比赛相互独立.下表是李梦最近分别与父 亲、母亲、弟弟比赛的情况: 父亲 母亲 弟弟 比赛次数 50 60 40 李梦获胜次数 10 30 32 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 以上表中的频率作为概率,解答下列问题: (1)若李梦胜一场得1分,负一场得0分,设李梦的得分为X分,求X的分布列、期望和方差; (2)若李梦赢一场比赛能得到5元的奖励金,求李梦所得奖励金的期望和方差. 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 解析    (1)由题表得,李梦与父亲比赛获胜的频率为 ,与母亲比赛获胜的频率为 ,与弟弟比 赛获胜的频率为 . X的可能取值为0,1,2,3. P(X=0)= × × = , P(X=1)= × × + × × + × × = , P(X=2)= × × + × × + × × = , P(X=3)= × × = . 故X的分布列为 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 X 0 1 2 3 P         E(X)=0× +1× +2× +3× = , 所以D(X)= × + × + × + × = . (2)易知李梦所得奖励金为5X元,则E(5X)=5E(X)= ,D(5X)=52D(X)= . 第1讲　描述运动的基本概念 第七章　随机变量及其分布 在实际生活中存在着许多决策问题,我们决策或优化的目的通常是使损失最小或利益最大. 离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,而方差反