2.1.1 两角和与差的余弦公式 学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

2.1 课时1 两角和与差的余弦公式 【学习目标】 1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.(逻辑推理) 2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.(数学运算) 【自主预习】 1.式子cos2π-=cos 2π-cos=是否正确? 2.等式cos(α-β)=cos α-cos β正确吗?你能举例吗? 3.如何用向量法推导两角差的余弦公式? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)当α,β∈R时,cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β. (　　) (2)对于任意实数α,β,cos(α-β)=cos α-cos β都不成立. (　　) (3)cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=0. (　　) 2.cos 47°cos 137°+sin 47°sin 137°=(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0 B.1 C.-1 D. 3.已知cos α=,α∈,2π,则cosα-的值为(　　). A. B. C. D. 4.cos(α-35°)cos(α+25°)+sin(α-35°)sin(α+25°)=　　　　.  【合作探究】 探究1 两角差的余弦公式 　　如图,已知在平面直角坐标系内的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2). 问题1:如何求P1P2的长度? 问题2:如图所示,求解各点的坐标. 问题3:AP与A1P1有什么关系? 问题4:如何表示AP,A1P1的长度?可以得到什么结论? 新知生成 两角差的余弦公式C(α-β):cos(α-β)=　cos αcos β+sin αsin β　.  新知运用 一、给角求值 例1　计算:(1)cos(-15°); (2)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°. 方法指导　 (1)将-15°用两个特殊角之差表示,再正用公式求值;(2)逆用公式求解. 【方法总结】　　利用公式C(α-β)求值的思路 (1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差,正用公式直接求值. (2)如果函数名称不满足公式特点,可利用诱导公式调整角和函数名称,构造公式的结构形式然后逆用公式求值. 二、给值求值 例2　已知cos α=,α∈,则cosα-=　　　　.  方法指导　根据两角差的余弦公式求解. 【方法总结】　　公式应用的两个关注点 (1)公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧. (2)公式的逆用需要学生逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算能力. 1.计算:cos 56°cos 26°+sin 56°sin 26°=　　　　.  2.cos 255°cos 195°-sin 75°sin 195°=　　　　.  3.(1)已知tan θ=,θ∈,求cos的值; (2)已知α,β为锐角,且cos α=,cos(α+β)=-,求cos β 的值. 探究2　两角和的余弦公式 问题1:已知两个角α,β的正弦、余弦sin α,sin β,cos α,cos β,如何求α+β的余弦值? 问题2:观察两角和与差的余弦公式,如何准确地记忆它们? 新知生成 两角和的余弦公式:C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. 新知运用 例3　已知锐角α,β满足cos α=,sin β=,求α+β的值. 方法指导　首先利用同角三角函数求sin α,cos β的值,再求cos(α+β)的值,最后利用角的范围求α+β的值. 【方法总结】　　(1)这类问题的求解,关键环节有两点:①求出所求角的某种三角函数值;②确定角的范围,一旦做好这两个环节,结合三角函数的性质与图象即可求解. (2)确定应用所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目,结合所给角的范围确定. 已知cos(α-β)=-,sin(α+β)=-,<α-β<π,<α+β<2π,求β的值. 【随堂检测】 1.coscos-sinsin的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D.1 2.已知α为锐角,β为第三象限角,且cos α=,sin β=-,则cos(α-β)的值为(　　). A.- B.- C. D. 3.在△ABC中,若sin Asin B<cos Acos B,则△ABC一定为(　　). A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 4.已知sin α+sin β=,cos α+cos β=,0<α<β<π,求α-β的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 课时1 两角和与差的余