1.7 平面向量的应用举例 学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

1.7 平面向量的应用举例 【学习目标】 1.能运用向量的知识解决一些简单的平面几何问题.(直观想象、数学运算) 2.掌握两种基本方法——选择基向量法和建坐标系法.(直观想象、数学运算) 3.能用向量知识处理一些简单的物理问题.(数学抽象、数学运算) 【自主预习】 1.利用向量可以解决哪些常见的几何问题? 2.向量在物理问题中的应用有哪些? 1.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B. C.3 D. 2.当两人提起重力大小为|G|的旅行包时,两人用力方向的夹角为θ,用力大小都为|F|,若|F|=|G|,则θ的值为(　　). A.30° B.60° C.90° D.120° 3.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m,且F与s的夹角为60°,则力F所做的功W=　　　　J.  【合作探究】 探究1 平面向量在几何中的应用 　　如图所示,水渠横断面是四边形ABCD,=,且||=||. 问题1:如何判断这个四边形的形状? 问题2:向量运算与几何中的结论“若a=b,则|a|=|b|,且a,b所在直线平行或重合”相类比,你有什么体会? 问题3:把直角三角形两直角边与斜边的数量关系类比到矩形中,你能发现矩形两对角线长度与两邻边长度之间的关系吗? 新知生成 用向量方法解决平面几何问题的步骤: (1)用基向量表示待证或待求问题,然后利用数量的运算解决问题. (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等. (3)再把运算结果“翻译”成几何关系. 新知运用 一、证明平行、垂直问题 例1　在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB,求证:AC⊥BC. 方法指导　可以选用基向量,利用向量运算证明,也可以建系,利用坐标运算解决. 【方法总结】　　用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法:选取适当的基(基中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算. (2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 如图,正方形ABCD的边长为a,E是AB的中点,F是BC的中点,求证:DE⊥AF. 二、解决向量中的最值问题 例2　如图所示,在矩形ABCD中,AB=2BC=4,动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上,求·的最大值. 方法指导　先根据条件求得点C到BD的距离d,再把所求转化为·=·+·,即可求得 已知在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,·=4,点P在线段CD上(不包含端点),求·的取值范围. 探究2　平面向量在物理中的应用 　　这是小明拍他叔叔在拉单杠时的图片. 问题1:小明的叔叔感觉两臂的夹角越大,拉起来越费力,这是为什么? 问题2:向量的运算、速度、加速度、位移有什么联系? 新知生成 向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有　力、速度、加速度、位移　等.  (2)向量的加、减法运算体现在　力、速度、加速度、位移的合成与分解　.  (3)动量mv是向量的　数乘　运算.  (4)功是　力F　与　所产生的位移s　的数量积.  新知运用 一、向量在力学中的应用 例3　 设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为,如图所示. (1)求F3的大小; (2)求F2与F3的夹角. 方法指导　(1)由三个力处于平衡状态用F1,F2表示F3→用向量模的计算公式求F3的大小(2)用F1,F2表示F3→构造F2·F3→利用夹角公式求解 【方法总结】　　(1)力、速度、位移的合成与分解,实质上就是向量的加、减法运算.(2)力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,实质是力和位移两个向量的数量积,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F和s的夹角). 　　物体W的质量为50千克(所受重力为490 N),用绳子将物体W悬挂在两面墙之间,已知两面墙之间的距离AB=10米(AB为水平线),AC=6米,BC=8米,求AC,BC上所受的力的大小. 二、向量在运动学中的应用 例4　一条宽为 km的河,水流速度为2 km/h,在河两岸有两个码头A,B,已知AB= km,船在静水中最大航速为4 km/h.问怎样安排航行速度,可使该船从A码头最快到达彼岸B码头?用时多少? 【方法总结】　　向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解,充分借助向量的平行四边形法则把物理问题转化为数学问题. 　　在风速为75(-) km/h的西风