1.6课时4解三角形的应用举例学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

1.6 课时4 解三角形的应用举例 【学习目标】 1.能够运用正弦、余弦定理解决与方位角有关的航海问题.(数学建模、数学运算) 2.会利用数学建模的思想,结合解三角形的知识,解决距离、高度、角度有关的实际应用问题.(数学建模、数学运算) 【自主预习】 1.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者与A在河的同侧,在所在的河岸边先确定一点C,测出A,C的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,可以计算出A,B两点的距离为(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.50 m B.50 m C.25 m D. m 2.如图,要测出山上一座天文台BC的高,从山腰A处测得AC=60 m,天文台最高处B的仰角为45°,天文台底部C的仰角为15°,则天文台BC的高为(　　). A.20 m B.30 m C.20 m D.30 m 3.一船以15 km/h的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60°的方向上,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°的方向上,这时船与灯塔的距离为　　　　km.  【合作探究】 探究1 测量距离问题 问题1:如图所示,A,B两点在河的两岸,在点A的一侧,需测出哪些量,可以求出A,B两点间的距离? 问题2:如图所示,A,B两点都在河的对岸(不可到达),结合图形,需测出哪些量,可以求出A,B两点间的距离? 　　 新知生成 1.基线的概念与选择原则 (1)定义:在测量上,根据测量需要适当确定的　线段　叫作基线.  (2)性质:在测量过程中,要根据实际需要选取合适的　基线长度　,使测量具有较高的精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越　高　.  2.测量不可到达的两点间的距离,若是其中一点可以到达,利用一个三角形即可解决,一般用正弦定理;若两点均不可到达,则需用三个三角形才能解决,一般正、余弦定理都要用到. 新知运用 例1　 已知A,B两地之间隔着一个山冈,如图,现选择另一点C,测得CA=7 km,CB=5 km,C=60°,则A,B两点之间的距离为　　　　km.  【方法总结】　　三角形中与距离有关的问题的求解策略 (1)解决三角形中与距离有关的问题,若在一个三角形中, 则直接利用正弦定理、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,则要根据条件选择适当的三角形,再利用正弦定理、余弦定理求解. (2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正弦定理、余弦定理来解决. 学校体育馆的人字屋架的形状为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4 m,A=30°,则其跨度AB的长为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.12 m B.8 m C.3 m D.4 m 探究2　测量高度问题 问题:小明要测量底部不能到达的某塔的高度.他选定了离地面高度为15 m的一个地点,他测得塔底的俯角为30°,塔顶的仰角为62°,由此估测该塔的高约为多少?(精确到0.1 m) 新知生成 1.仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫　仰角　,目标视线在水平视线下方时叫　俯角　(如图所示).  2.视角:从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的　夹角　,如图所示,视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的角度.  新知运用 例2　 如图所示,为了测量某竖直建筑物CO的高度,在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上,有相距60 m的A,B两个观测点,并在A,B两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°,且cos∠CAB=-,求此建筑物的高度. 方法指导　由题意分析可得AC=CO,BC=2CO,在△ABC中利用余弦定理运算求解. 【方法总结】　　解决测量高度问题的一般步骤:(1)画图:根据已知条件画出示意图.(2)分析:分析与问题有关的三角形.(3)求解:运用正、余弦定理,解相关的三角形,经检验后得到实际问题的解.在解题中,要综合运用立体几何知识与平面几何知识,注意方程思想的运用. 　　在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为60°,塔基的俯角为45°,那么这座塔吊的高是(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　A.20 m B.20(1+) m C.10(+) m D.20(+) m 探究3　测量角度问题 　　请结合下图,探究下面的问题. 问题:你能用方向角表述图中的角吗? 新知生成 1.方向角 从指定方向线到　目标　方向线所成的水平角.如南偏西60°,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°(如图所示).  2.方位角 从正北方向　顺时针　转到目标方向线所成的水平角.如