1.6课时2正弦定理学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

1.6 课时2 正弦定理 【学习目标】 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法.(逻辑推理、数学运算) 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.正弦定理的内容是什么? 2.在正弦定理中,三角形的各边与其所对角的正弦的比值都相等,那么这个比值等于多少?与该三角形外接圆的直径有什么关系? 3.已知三角形的两边及其夹角,为什么不必考虑解的个数? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦定理对任意的三角形都成立. (　　) (2)在△ABC中,等式bsin C=csin B总能成立. (　　) (3)在△ABC中,已知a,b,A,则能求出唯一的角B. (　　) (4)任意给出三角形的三个元素,都能求出其余元素. (　　) 2.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则sin B=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 3.在△ABC中,A=30°,a=3,b=2,则这个三角形有(　　). A.一解 B.两解 C.无解 D.无法确定 【合作探究】 探究1 正弦定理 　　 如图,在Rt△ABC中,A=30°,斜边c=2. 问题1:试求△ABC其他的边和角,计算,,的值,从中你能发现什么结论吗? 问题2:对于其他的直角三角形,此结论是否成立呢?是否能够猜测,此结论对于锐角和钝角三角形都成立呢? 新知生成 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即==. 新知运用 例1　在△ABC中,AC=3,BC=2,cos A=,B是钝角. (1)求角B; (2)求AB. 方法指导　(1)先求得sin A,然后利用正弦定理求得sin B,从而求得角B.(2)利用余弦定理求得AB. 【方法总结】　　已知三角形的两角和任一边解三角形的基本思路 (1)当所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求出另一个角所对的边,由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求第三边. (2)当所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边. 若△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,sin A·sin C=,b2=ac,则B=　　　　 　.  探究2　利用正弦定理解三角形 　 木工张师傅的一个三角形形状的模型坏了,只剩下如图所示的部分,A=47°,B=53°,AB长为1 m,张师傅想修好这个零件,但他不知道AC和BC的长度是多少,你能帮张师傅这个忙吗? 问题:解答情境中的问题. 新知生成 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题: ①已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角; ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角. 新知运用 例2　在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,b,c. 方法指导　本例是已知三角形的两角和一边解三角形,其基本解题思路:先由三角形的内角和定理求出角A,再由正弦定理公式的变形,求另外的两条边b,c. 【方法总结】　　解三角形中的常用结论 (1)在△ABC中,a+b>c,b+c>a,a+c>b,即任意两边之和大于第三边. (2)在△ABC中,①sin A=sin B⇔A=B⇔a=b,②cos A=cos B⇔A=B⇔a=b,③cos A>cos B⇔A<B. (3)在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B,即大角对大边,大边对大角. (4)在△ABC中,三角形内角和定理及相关结论:A+B+C=π,A+B=π-C,=-,sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,sin =cos ,cos =sin . (5)在锐角△ABC中,A+B>⇔A>-B⇔sin A>cos B⇔cos A<sin B. (6)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=. 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=60°,b=,c=3,则A=　　　　.  2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120°,则a=　　　　.  探究3　判断三角形解的个数 　　在△ABC中,a=9,b=10,A=60°. 问题:你能判断三角形解的个数吗? 新知生成 已知三角形的两角和任意一边,求其他两边和第三个角,此时有唯一解,三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定.以已知a,b和A解三角形为例说明: 图形 关系式 解的个数 A 为 锐 角 ①a=bsin A