1.5.2 课时2 数量积的坐标表示及其计算 学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

1.5 课时2 数量积的坐标表示及其计算 【学习目标】 1.理解掌握向量数量积的坐标表达式,会利用坐标进行数量积的运算.(数学抽象、数学运算) 2.掌握向量的模、夹角等公式,能根据公式解决向量的模、夹角、垂直等有关问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.平面向量的数量积(内积)的定义是什么? 2.向量a与b垂直的条件是什么? 3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何计算a与b的数量积? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1y2-x2y1=0. (　　) (2)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0,则两个向量的夹角θ一定是锐角. (　　) (3)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a与b的夹角为0°. (　　) (4)若向量a=(1,0),b=,,则|a|=|b|. (　　) 2.设a=(1,-2),b=(3,1),c=(-1,1),则(a+b)·(a-c)=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.11 B.5 C.-14 D.10 3.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),则cos<a,b>=　　　　,|a-b|=　　　　.  . 【合作探究】 探究1 平面向量数量积的坐标表示 　　已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),类比向量数乘的坐标表示,探究平面向量数量积的坐标表示. 问题1:若i,j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量,则a,b如何用i,j表示? 问题2:能否用a,b的坐标表示a·b?怎样表示? 问题3:向量垂直与向量的数量积的关系是什么?能用坐标表示向量垂直吗? 新知生成 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ. 数量积 a·b=x1x2+y1y2 向量垂直 a⊥b⇔x1x2+y1y2=0 新知运用 一、给出坐标求数量积 例1　已知向量a=(-1,2),b=(3,2). (1)求a·(a-b); (2)求(a+b)·(2a-b); (3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c). 方法指导　根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算. 【方法总结】　　进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两种方法:一是先将各向量用坐标表示,再直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. 已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10,求: (1)向量a的坐标; (2)若c=(2,-1),求(a·c)b. 二、向量垂直的坐标表示的应用 例2　已知点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:⊥. (2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标. 【方法总结】　　涉及非零向量a,b的垂直问题时,一般需借助a⊥b⇔a·b=x1x2+y1y2=0来解决. 已知向量a=(m,2),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=　　　　.  探究2　平面向量的模、夹角 问题1:若把表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别设为(x1,y1),(x2,y2),如何求a的坐标?|a|怎么用坐标表示? 问题2:设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a,b的夹角,则cos θ如何用坐标表示? 问题3:已知向量a=(x,y),则与a共线的单位向量的坐标是什么?与a垂直的单位向量的坐标是什么? 新知生成 1.向量的长度 设a=(x,y),则|a|==. 2.夹角的余弦值 设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则两向量夹角余弦值的公式为cos<a,b>==. 新知运用 例3　设平面内的向量=(-1,-3),=(5,3),=(2,2),点P在直线OM上,且·=-16. (1)求的坐标; (2)求∠APB的余弦值; (3)设t∈R,求|+t|的最小值. 方法指导　(1)根据P,O,M三点共线可设=λ,利用数量积公式列方程求解;(2)计算||,||,代入向量夹角公式计算;(3)计算|+t|2得到关于t的二次函数,求出函数的最小值即可. 【方法总结】　　1.求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的运算. (2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=. 2.解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角的求解方法:由cos θ==直接求出cos θ. (2)注意事项:利用三角函数值cos θ求θ的值时,应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用