1.5课时1数量积的定义及计算学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

1.5 课时1 数量积的定义及计算 【学习目标】 1.掌握向量数量积的定义、公式及性质.(数学抽象) 2.理解向量的投影、向量的数量积的几何意义.(数学抽象、直观想象) 3.理解向量数量积的含义及其物理意义,体会向量数量积与向量投影的关系.(数学抽象) 4.能正确熟练地应用向量数量积的定义、运算律进行运算.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 　　小明在雪地里,用雪橇拉着妹妹玩耍,在他的拉力F的作用下,雪橇产生了一段位移s. 1.如何计算这个力所做的功? 2.力做功的大小与哪些量有关? 3.向量数量积的运算结果是什么? 4.向量a在向量b上的投影向量与向量b是平行向量吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)向量a在向量b上的投影向量一定与b共线. (　　) (2)若a·b<0,则a与b的夹角为钝角. (　　) (3)向量的数量积运算满足(a·b)·c=a·(b·c). (　　) (4)已知a≠0,且a·c=a·b,则b=c. (　　) 2.设e1和e2是互相垂直的单位向量,且a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则a·b=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.(多选题)已知两个单位向量e1,e2的夹角为θ,则下列结论正确的是(　　). A.e1在e2方向上的投影向量为cos θ·e2 B.= C.(e1+e2)⊥(e1-e2) D.e1·e2=1 【合作探究】 探究1 数量积的定义 　　小明用纸片制作了一个边长为2的正△ABC,如图所示. 问题1:图中与的夹角是多少? 问题2:仿照力做功的公式,如何计算·? 问题3:向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同? 新知生成 1.数量积的定义 设a,b是任意两个向量,<a,b>是它们的夹角,则定义a·b=|a||b|cos<a,b>为a与b的数量积. 2.数量积定义的理解 设<a,b>=α(α∈[0,π]),由数量积的定义得a·b=0⇔|a|=0或|b|=0或cos α=0,即a·b=0⇔a⊥b. 新知运用 例1　已知正△ABC的边长为1,求: (1)·;(2)·;(3)·. 方法指导　找准向量的夹角,根据数量积的定义计算. 【方法总结】　　用定义法求平面向量的数量积,已知向量的模及其夹角,则直接利用公式a·b=|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角,条件是两向量的始点必须重合,否则,要通过平移使两向量符合以上条件. 设正△ABC的边长为,=c,=a,=b,求a·b+b·c+c·a. . 探究2　投影 　　如图,一束平行光线照射在线段AB上,在直线l上的投影如下. 问题1:图中的线段A1B1叫作什么? . 问题2:设直线AB与直线l的夹角为θ,那么|A1B1|与|AB|,θ之间有怎样的关系? 新知生成 1.投影向量 作向量=a,=b,两个向量的夹角为α,过点B作BB1⊥OA于点B1,则=+,其中与共线.我们把称为在方向上的投影向量,投影向量的长度||=||·|cos α|称为投影长. 2.数量积的几何意义 一般地,a与b的数量积等于a的长度　|a|　与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积,或b的长度　|b|　与a在b方向上的投影　|a|cos α　的乘积.  3.向量b在a方向上的投影公式为|b|cos α=. 新知运用 例2　如图,在等腰△ABC中,AB=AC=2,∠ABC=30°,D为BC的中点. (1)求在方向上的投影向量; (2)求在方向上的投影向量; (3)求在方向上的投影长. 方法指导　根据数量积和投影向量的定义求解. 【方法总结】　　求一个向量在另一个向量上的投影向量时,关键是作出恰当的垂线,根据题意确定向量的模及两向量的夹角. 如图,A,B是☉C上的两点,若弦AB的长度为2,则·=　　　　;若向量在向量方向上的投影向量为,则与的夹角为　　　　.  探究3　数量积的运算律 　　小明学习了向量数量积的运算后,根据实数的运算律,类比得出向量数量积的运算律,如下表: 运算律 实数乘法 平面向量数量积 交换律 ab=ba a·b=b·a 结合律 (ab)c=a(bc) (a·b)·c=a·(b·c) (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b) 分配律 (a+b)c=ac+bc (a+b)·c=a·c+b·c 　　问题1:表中这些结果正确吗? 问题2:如何证明(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)? 新知生成 设a,b,c是任意向量,λ是任意实数,则下列运算律成立. (1)交换律:a·b=b·a. (2)与数乘的结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). (3)分配律:(a+b)·c=a