精品解析：北京市门头沟区2023-2024学年高三下学期3月综合练习数学试卷

北京市门头沟区2023-2024学年高三下学期3月综合练习数学试卷 第一部分 单选题 一、选择题共10小题， 每小题4分， 共40分．在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合 ， 集合 ， 则 （ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 3 D. 3. 下列函数中， 既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为 ，若，则（ ） A. 54 B. 63 C. 72 D. 135 6. 设 ， 则 “ ” 是 “ ” （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 中，，， 且， 则（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 10. 如图， 正方体 中， 点 为线段 上的动点， 则下列结论正确的个数是（ ） （1）三棱锥的体积为定值； （2）直线与平面所成的角的大小不变； （3）直线与所成的角的大小不变， （4）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题， 每小题 5 分， 共 25 分． 11. 的展开式中常数项为________ (用数字作答) 12. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则到直线的距离为：________ ． 13. 若函数 的最大值为 ， 则 ________， ________． 14. 已知数列 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和， ， 则 ________； 记 ， 若存在 使得 最大， 则 的值为________． 15. 设，函数，给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②存在， 使得只有一个零点； ③存在， 使得有三个不同零点； ④，在上是单调递增函数． 其中所有正确结论序号是________． 三、解答题共 6 小题， 共 85 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 如图，在四棱锥中，平面，， 为棱的中点． （1）求证：//平面； （2）当 时，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 设函数，已知，，在区间上单调，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作已知，使函数存在． （1）求的值； （2）当时，若曲线与直线恰有一个公共点， 求的取值范围． 条件①：为函数的图象的一个对称中心； 条件②：直线为函数的图象的一条对称轴； 条件③：函数的图象可由的图象平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速)全线35坐桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到，预计今年上半年开始通车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟。新高速全线设颀主线收费站两处（分别位于安家庄和西台子)和匝道收费站四处 (分别位于雁翅、火村、清水和斋堂)。新高速的建成为市民出行带来了很大便利，为此有关部门特意从门头沟某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口)，具体情况如下： （假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）。 项目 斋堂出口 清水出口 安家庄出口 雁翅出口 火村出口 西台子出口 上班 40 8 2 5 3 2 旅游 30 20 10 10 12 8 探亲 16 10 10 5 5 4 （1）从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率； （2）用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为，求的分布列和数学期望； （3）用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取 1 人，用 “”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速：从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用 “”