2024年中考数学复习专题训练：因式分解 压轴题

2024年人教版九年级数学中考专题训练:因式分解压轴题 1.阅读以下材料: 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法.对于,它不是完全平方式,所以无法用公式法进行因式分解.现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解: 第一步,因式分解是整式乘法的逆过程,最高含有的二次项,所以看作由得到; 第二步,去括号,和对比发现, 二次项系数为1,二次项由和相乘得出,所以(为了计算简便,往往取整数); 第三步,继续把和对比,发现,两数之积为2,和为3,就不难凑出,,检验一下:,换个方向写就是因式分解了. 请使用上述方法回答下列问题: (1)因式分解: ①; ②; (2)对关于的多项式因式分解:. 2.现对x,y定义一种新的运算:,(其中均不为0),举例:. (1)若; ①求的值. ②若关于的不等式组恰好有2个整数解,求的取值范围. (2)若对任意实数都成立,则应满足什么样的关系式? 3.我们定义:一个整数能表示成(a、b是整数)的形式,则称这个数为“完美数”. 例如,5是“完美数”.理由:因为,所以5是“完美数”. [解决问题] (1)已知29是“完美数”,请将它写成(a、b是整数)的形式_; (2)若可配方成(m、n为常数),则_; [探究问题] (3)已知,则_; (4)已知(x、y是整数,k是常数),要使S为“完美数”,试求出符合条件的一个k值,并说明理由. [拓展结论] (5)已知实数x、y满足,求的最值. 4.如图,抛物线与y轴交于点,顶点坐标为,C是x轴上一动点. (1)求b,c的值. (2)当周长最小时,求点C的坐标. (3)设m是抛物线与x轴的交点的横坐标,求的值. 5.阅读理解并填空: (1)为了求代数式的值,我们必须知道的值. 若,则这个代数式的值为_, 若,则这个代数式的值为_, .... 可见,这个代数式的值因的取值不同而变化,尽管如此,我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围. (2)把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大(或最小)值问题. 例如:,因为是非负数,所以这个代数式的最小值是_,此时相应的的值是_. (3)求代数式的最小值,并写出相应的的值. (4)求代数式的最大值,并写出相应的的值. 6.若一个四位正整数满足:,我们就称该数是“交替数”,如对于四位数3674,∵,∴3674是“交替数”,对于四位数2353,,∴2353不是“交替数”. (1)最小的“交替数”是_,最大的“交替数”是_. (2)判断2376是否是“交替数”,并说明理由; (3)若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是12,且十位数字与个位数的和能被6整除.请求出所有满足条件的“交替数”. 7.若,,且,满足. (1)求,两点的坐标; (2)如图,点在线段上,,作点关于直线的对称点点,交轴于点,过点作交轴于点. ①当时,求证:; ②试探究,,之间的关系,并说明理由. 8.已知:在平面直角坐标系中,点,,且a,b满足. (1)求a,b的值; (2)如图1,若,,点C在第四象限,与y轴交于点M,与x轴交于点N,连接, ①求点C的坐标;②求及点M的坐标; (3)如图2,在(2)的条件下,连接.两个结论:①;②为定值,只有一个结论成立,请你判断正确的结论加以证明. 9.我们可以用以下方法求代数式的最小值. ∵ ∴, ∴当时,有最小值-4. 请根据上述方法,解答下列问题 (1)求代数式的最小值; (2)求证:无论、取任何实数,代数式的值都是正数; (3)已知为实数,求代数式的最小值. 10.阅读材料:若,求m、n的值. 根据你的观察,探究下面的问题: (1)已知一个不等边三角形的三边长分别为a、b、c,且a、b、c都是正整数,并满足求c的值. (2)已知a、b、c是的三边长,且满足,试判断的形状. (3)试探究关于x、y的代数式是否有最小值,若存在,求出最小值及此时x、y的值;若不存在,说明理由. 11.把代数式通过配凑等手段,得到局部完全平方式,再进行有关运算和解题,这种解题方法叫做配方法. 如:①用配方法分解因式:a2+6a+8, 解:原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1 =(a+3)2-12= ②M=a2-2a-1,利用配方法求M的最小值. 解: ∵(a-b)2≥0,∴当a=1时,M有最小值-2. 请根据上述材料解决下列问题: (1)用配方法因式分解:. (2)若,求M的最小值. (3)已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0,求x+y+z的值. 12.阅读下列材料,解答下列问题: 材料一:一个三位以上的自然数,如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数,我们称满足此特征的数叫“网红数”,如:65362,362﹣65=297=11 27,称65362