处理排列问题的常见策略专练-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

处理排列问题的常见策略 1. 特殊元素或特殊位置问题: 利用排列数解决有关特殊元素或特殊位置问题，一般采用特殊元素(位置)优先的原则． 例1. 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端． [方法技巧]特殊元素或特殊位置问题一般从以下三种思路考虑： 当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决． 2.相邻问题：捆绑法 例2. 已知A，B，C，D，E共5名同学，按下列要求排列，分别求出满足条件的排列方法数．(1)把这5名同学安排到5个空位上，且A，B必须相邻； (2)把这5名同学安排到5个空位上，且A，B必须相邻，C，D，E也必须相邻； (3)把这5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且A，B必须相邻． 变式:某博物馆计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方法有________种． [方法技巧]解决“相邻”问题用“捆绑法”．将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同排法的种数，具体求解步骤如下： (1)先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体； (2)把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有种； (3)“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有种； (4)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有·种． 3.不相邻问题：插空法 例3.已知A，B，C，D，E五名同学，按下列要求进行排列，求所有满足条件的排列方法数．(1)把5名同学排成一排且A，B不相邻；(2)把5名同学排成一排且A，B都不与C相邻；(3)把5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且A，B不相邻． 变式:4男3女排成一行，3名女生互不相邻的不同排法有______种． [方法技巧]解决不相邻问题用“插空法”．将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻(k≤n－k＋1)，求不同排法的种数，具体求解步骤如下： (1)将没有不相邻要求的元素共(n－k)个排成一排，其排列方法有种； (2)将要求两两不相邻的k个元素插入(n－k＋1)个空隙中，相当于从(n－k＋1)个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有种； (3)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法种数为·. 4.排列中的定序问题：先安排无需定序的,再插入定序的或先全排列，再除以定序元素的全排列(除法处理) 例4. (1)用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有________个七位数符合条件． (2)将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻).这样的排列方法有________种(用数字作答). [方法技巧]解决“定序”问题用“倍缩法”．有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法． 变式1:3男3女身高互不相同，要求男生从左到右依次按从矮到高排列，有______种不同的站法. 变式2:7个人站成一排． (1)若甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？ (2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？ 5.环排问题：线排化（除法处理） 例5. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 6.多排问题：直排化 例6.有8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法? 变式1:6人排成前后2排，每排3人，有______种不同的排法. 变式2:3男3女排成前后2排, 前排4人, 后排2人, 有______种不同的排法. 变式3:6人站成前后2排，每排3人，甲乙在前排，丙在后排，有_____种不同的站法. 7.间接法/排除法（正难则反） 例7.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有_____种. 变式:安排甲、乙、丙3名护士去6所医院实习，每所医院至多2人，则不同的分配方案共有________种. 8.列举法（元素少或限制条件多） 例8.有4位教师在同一年级的4个班各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方案有_____种. 变式:甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己所写的贺卡，有____