6.3二项式定理课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章 计数原理 　6.3　二项式定理 1 1 | 二项式定理 知识点 必备知识 清单破 6.3　二项式定理 二项式定理 公式(a+b)n= an+ an-1b1+…+ an-kbk+…+  bn,n∈N*叫做二项式定理 (a+b)n的二项展开式  an+  b1+…+ an-kbk+…+ bn,n∈N* 二项式系数  (k=0,1,2,…,n) 第1讲　描述运动的基本概念 第六章　计数原理 二项展开式的通项 展开式的第k+1项:Tk+1= an-kbk 备注 在二项式定理中,若设a=1,b=x,则得到公式:(1 +x)n= + x+ x2+…+ xk+…+ xn 第1讲　描述运动的基本概念 第六章　计数原理 1.对称性 　　与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 = . 2.增减性与最大值 　　当k< 时, 随k的增加而增大;由对称性知,二项式系数的后半部分, 随k的增加而减 小.当n是偶数时,中间的一项 取得最大值;当n是奇数时,中间的两项 与 相等,且同时 取得最大值. 3.各二项式系数的和 (a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n,即 + + +…+ =2n. 　　在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即 + +  +…= + + +…. 2 | 二项式系数的性质 知识点 第1讲　描述运动的基本概念 第六章　计数原理 知识辨析 1. an-kbk是(a+b)n的展开式中的第几项? 2.(a+b)n与(b+a)n的二项展开式在结构形式上相同吗? 3.二项展开式中项的系数与二项式系数相等吗? 4.在(1-x)9的展开式中,系数最大的项是第5项和第6项吗? 第1讲　描述运动的基本概念 第六章　计数原理 一语破的 1.第(k+1)项. 2.不相同.尽管(a+b)n与(b+a)n的二项展开式是相等的,但它们在结构形式上却不相同.(a+b)n的 二项展开式中的项按a的降幂、b的升幂排列,第(k+1)项为 an-kbk;(b+a)n的二项展开式中的项 按b的降幂、a的升幂排列,第(k+1)项为 bn-kak. 3.不一定.项的系数是指除变量外连同符号的常数部分,与a,b的系数有关,二项式系数为 ,与 a,b的系数无关. 4.不是.展开式共10项,其中奇数项系数为正,偶数项系数为负,所以系数最大的项是第5项. 第1讲　描述运动的基本概念 第六章　计数原理 　　求二项展开式中的特定项(项的系数),实质是考查其通项Tk+1= an-kbk,一般需要建立方程 求k,再将k的值代回求解,注意k的取值范围为0,1,2,…,n. (1)求第m项:令k+1=m,直接代入通项. (2)求含am的项:令n-k=m,解出k的值,代入通项. (3)求常数项:隐含条件是字母的指数为0. (4)求有理项:令通项的所有字母的指数都等于整数,求解时必须合并通项中同一字母的指数, 根据具体要求,令其为整数,再由数的整除性来求解. (5)求整式项:令通项中同一字母的指数合并后为非负整数,求解方式与求有理项一致. 1 | 二项展开式中的特定项(项的系数)问题 定点 关键能力 定点破 第1讲　描述运动的基本概念 第六章　计数原理 典例 在 的展开式中,第6项为常数项. (1)求n的值; (2)求含x2的项的系数与二项式系数; (3)求展开式中所有的有理项. 第1讲　描述运动的基本概念 第六章　计数原理 解析    (1) 的展开式的通项为Tr+1=  ×(-3)r = ×(-3)r (r=0,1,2,…,n).因为 展开式的第6项为常数项,所以 =0,解得n=10. (2)由(1)知Tr+1= ×(-3)r . 令 =2,得r=2,所以含x2的项的系数为 ×(-3)2=405,含x2的项的二项式系数为 =45. (3)根据题意得 所以r=2或r=5或r=8,所以展开式中有理项分别为T3= ×(-3)2x2=40 5x2,T6= ×(-3)5=-61 236,T9= ×(-3)8x-2=295 245x-2. 第1讲　描述运动的基本概念 第六章　计数原理 方法总结    已知展开式的某项或其系数求参数,可由通项写出已知项,根据题中数据得到参 数的值. 第1讲　描述运动的基本概念 第六章　计数原理 1.求两个二项式乘积的展开式中特定项的一般步骤 (1)分别求每个二项展开式的通项; (2)找到构成展开式中特定项的组成部分; (3)利用多项式乘法分别相乘即可. 2.求三项展开式中特定项的方法 (1)因式分解法:先通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分别展开. (2)逐层展开法:先将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的一组展开. (3)利用组合知识:把三项式(a+