第17章勾股定理专题：利用勾股定理解决最短路径问题2023-2024学年人教版数学八年级下册

专题：利用勾股定理解决最短路径问题板块： 题型1 平面上的最短路径 模型一 利用垂线段最短解决 模型二 利用将军饮马解决 ◎两定一动型 ◎一定两动型 ◎两定两动型 ◎架桥铺路型 题型2 代数式转化为几何类型 题型3 立体几何上的最短路径 题型1 平面上的最短路径 ☆模型一 利用垂线段最短解决模型展示 如图，在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小. 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P′，使折线段PM+MN转化为P′M+MN，即过点P′作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，使得PM+MN最小值. 【例题】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD=，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则EC+EF的最小值为 ． 答图 【解答】在AB上取一点F'，使AF'=AF，过点C作CH⊥AB于点H，∵AD平分∠CAB，∴∠EAF=∠EAF'，又∵AE=AE，∴△AEF≌△AEF'（SAS），∴EF=EF'，∴EC+EF=EC+EF'≥CH，∴EC+EF的最小值为CH，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=30°， ∵CD=，∴AD=2CD=，在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC==，在Rt△ABC中，AB=2AC=，由勾股定理，得BC==8，在Rt△BCH中，CH=BC=4． 跟踪训练 变1 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC的一动点，若BC=5，△ABC的面积是30，则PB+PH的最小值为 . 第1题 第2题 变2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是 . 变3 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BD是∠ABC的平分线，E是线段BD上一点，F是线段BC上一点，则CE+EF的最小值为 ． 第3题 第4题 第5题 变4 如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN=6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM=7，则AC的长为 . 变5 如图，△ABC中，BC=20，∠ABC=15°，点F、E分别是AB，BC上的动点，则EF+FC的最小值= ． ☆模型二 利用将军饮马解决 ◎两定一动型模型展示 如图，在直线l上找一点P使得PA+PB最小. 作点A关于直线l的对称点A′，则PA+PB=PA′+PB，当A′、P、B共线时PA+PB=A′B最短. 跟踪训练 【例题】如图，在平面直角坐标系中，直线l是一、三象限的角平分线，点P是直线l上的一个动点，A（3，0），B（6，0）是x轴上的两个点，则PA+PB的最小值为 ． 答图 【解答】作出点A（3，0）关于直线l的对称点A'（0，3），连接PA'，A'B，如图，由对称性可知：PA'=PA， ∴PA+PB=PA'+PB≥A'B，∴PA+PB的最小值为A'B的长， ∵A'（0，3），B（6，0）， ∴OA'=3，OB=6， 在Rt△A'OB中，由勾股定理，得A'B==3． 跟踪训练 变1 如图，在平面直角坐标系中，A（0,2），B（5,4），点P为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为 . 第1题 第2题 变2 如图，平面直角坐标系中有三点A（2，3）、B（1，4）、C（0，1），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，最小值为 . 变3 如图，在△ABC中，AB=AC=BC=2，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是 . ◎一定两动型 模型展示 如图，在OA、OB上分别取点M、N，使△PMN周长最小. 分别作点P关于直线OA、OB的对称点P′、P″，则PM+MN+PN=P′M+MN+P″N，当P′、M、N、P″四点共线时，P′M+MN+P′N最小，即△PMN周长最小. 【例题】如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=2，AD=3，点M，N分别在边BC，CD上，当∠AMN+∠ANM=120°时，△AMN的周长最小，则它的周长的最小值为 ． 答图 【解答