8.3.2独立性检验教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.3.2 独立性检验 教学内容 列联表独立性检验及其作用. 教学目标 （1）基于2×2列联表，能通过实例，解释独立性检验的基本思想，归纳出独立性检验的基本步骤. （2）能用独立性检验的思想和步骤解决简单的实际问题，提升数据分析能力. 教学重点与难点 （1）教学重点：独立性检验的思想与方法. （2）教学难点：统计变量的导出与意义，独立性检验的思想与方法. 教学过程设计 引导语 在现实问题中，我们常常需要推断两个分类变量之间是否存在关联.上一节课，我们通过分类变量的样本观测数据，依据随机事件频率的稳定性可以推断两个变量之间是否有关联.但对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本量较少时犯错误的可能性会比较大.因此需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现的错误推断的概率有一定的控制或估计，这是本节课的主要任务. 设计意图 教师开门见山地提出学习任务，以任务驱动学习. 环节一 提出问题，还原零假设 问题1 在上节课例1中，我们通过频率比较得到“两所学校学生的数学成绩优秀率存在差异”的结论，但由于数据的随机性，这推断有可能是错误的.为了研究犯错误的概率有多大，从概率的角度去研究两个分类变量和是否有关联的涵义是什么？ 师生活动 首先要做的工作是将问题数学化，要求学生用数学语言描述一下两个分类变量是否有关联的涵义，教师梳理总结. 设和为定义在样本空间上的两个分类变量，可设.例如，在这个问题中我们定义 我们希望判别学校因素是否影响学生的数学成绩，即事件与事件或事件是否有关联.接着教师作进一步引导：通过列联表判断事件与事件或事件是否有关联，用概率语言表示，就是判断下面的关系是否成立. （成立，就是无关联，不成立，就是有关联）. 其中表示从集合中随机先取一个样本点，该样本点属于的概率，而表示从集合中随机选取一个样本点，该样本点属于的概率. 教师指出，我们通过样本数据去推断两个变量是否有关联，有点类似法官凭证据判案.法官在判定一个嫌疑犯是否有罪前，应先作一个无罪假设.统计里在推断两个变量有关联前，也往往先作一个无关联的假定，即零假设成立，即假设分类变量和是无关联的. 设计意图 在独立性检验中，零假设是一个比较难以理解的概念.零假设既是研究的起始点，也是测量实际研究结果的基准.通过以法官判案为例，形象地解释零假设的含义，帮助学生突破难点，通过将问题抽象为以概率语言表达的数学问题，提升学生的数学抽象核心素养. 追问 请用列联表和条件概率的知识计算，结合零假设，你能得出零假设的哪些推导等价结论？ 师生活动 教师引导学生，在学生阅读、思考和讨论的基础上，再给出有条理的分析. 推论1：由得 即. 因为， 代入得，即等价于与事件独立. 推论2：由得 即. 因为， 代入得P，即等价于与事件独立. 推论3：因为， 得. 由， 得 即， 即等价于与事件独立. 推论4：同理得，即等价于与事件独立. 教师最后用概率语言将零假设改述为：分类变量和独立. 设计意图 通过概率语言，经过严格的推理，将零假设中分类变量的无关联转化为分类变量的独立性，为后续利用概率知识推断是否独立打下基础.该推理论证有难度，因此教学方式上采用阅读思考和教师的引导为主展开教学. 环节二 分析零假设，构造推断规则 引导语 有了无罪假设后，法官需要去寻找证据.如果能够找到在无罪情况下不可能出现的物证，那么我们就可以否定无罪假设，从而证明嫌犯有罪. 在统计学中，我们通常要从样本数据中找证据，寻找证据的方法是构造一个统计量，并且了解它的统计特征，利用样本计算这个统计量的观测值.如果这个观测值不符合零假设成立时统计量的应有统计性质，那么我们就有理由相信不成立. 问题2 表8.3-3是分类变量和的抽样数据列联表，根据分类变量和独立的定义及上述四个等价条件，说说分类变量和独立与表中数据运算的关系是什么？ 表8.3-3 合计 合计 追问1 由分类变量和的抽样数据构造成的列联表8.3-3，你能对表中的数据作一个解读吗？ 师生活动 学生独立思考、小组交流后，学生代表发言，然后由教师帮助总结：对于随机样本，表中的频数都是随机变量，相应数据是这些随机变量的一次观测结果，最后一行的前两个数分别是事件和的频数，最后一列的前两个数分别是事件和的频数，中间的四个数是事件的频数，右下角格中的数是样本容量. 追问2 若成立，依据频率稳定于概率的原理，这两个数是什么关系？同理，分析其他三个等价结论，你又可以得出哪些关系？ 师生活动 先由学生独立思考、作答，再进行全班交流，形成结论： ，若成立，，即，即比较小. 同理，若成立，，即，即比较小. 同理，若成立，，